Exposición-Grupo 1

Representación de Señales y Sistemas.

Serie de Fourier

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos(o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras).

Transformada de Fourier

Es una aplicación que hace corresponder a una función f con valores complejos y definida en la recta, otra función g definida de la manera siguiente:

g(\xi ) = \frac{1}\sqrt{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{-i\xi\,x} dx

Donde f es L1, o sea f tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal. En la práctica las variables x y ξ suelen estar asociadas a dimensiones (como el espacio -metros-, frecuencia -segundos^-1-,…) y entonces es correcto utilizar la fórmula alternativa:

g(\xi ) = \sqrt{\frac{\beta}{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{-i\beta\xi\,x} dx

de forma que la constante beta cancela la dimensiones asociadas a las variables obteniendo un exponente adimensional.

La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios defunciones generalizadas.

Además, tiene una multitud de aplicaciones en muchas áreas de la ciencia e ingeniería: la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales (electrónica), lateoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse como la decomposición de una señal en componentes defrecuencias diferentes, es decir, g corresponde al espectro de frecuencias de la señal f.

Integral de Fourier

La transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias de una función. Un buen ejemplo de eso es lo que hace el oído humano, ya que recibe una onda auditiva y la transforma en una descomposición en distintas frecuencias (que es lo que finalmente se escucha). El oído humano va percibiendo distintas frecuencias a medida que pasa el tiempo, sin embargo, la transformada de Fourier contiene todas las frecuencias contenidas en todos los tiempos en que existió la señal; es decir, en la transformada de Fourier se obtiene un sólo espectro de frecuencias para toda la función.

La serie de Fourier se utilizó para representar una función f definida en un intervalo finito (-p,p)(0,L). Cuando ff' son continuas en dicho intervalo finito, una serie de Fourier representa la función en el intervalo y converge hacia la extensión periódica de f fuera del intervalo. De esta manera, estamos justificados de afirmar que las series de Fourier solamente se asocian con funciones periódicas. Ahora procedemos a deducir, una forma para representar ciertos tipos de funciones no periódicas que estén definidas en un intervalo finito (\infty,-\infty)o semi-infinito (0,\infty)

La transformada de Fourier consta, de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas.

Además, tiene aplicaciones en muchas áreas de la ciencia e ingeniería: la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales (electrónica), la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse como la decomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes, es decir, g corresponde al espectro de frecuencias de la señal f.

La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones es denominada análisis armónico.

De la serie de Fourier a la Integral de Fourier

Serie de Fourier:

f(x)= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty{}[a_ncos(\frac{\pi}{p}x)+b_nsen(\frac{n\pi}{p}x)]

Suponemos que una función f está definida en (-p,p), y utilizamos las definiciones integrales de los coeficientes en la expresión, entonces la serie de Fourier de f en el intervalo es:

f(x)=\frac{1}{2p}\int^{p}_{-p}f(t)dt + \frac{1}{p}\sum_{n=1}^\infty{}\left[\left[\int^{p}_{-p}f(t)cos(\frac{n\pi}{p}t)dt\right]cos(\frac{n\pi}{p}x)+\left[\int^{p}_{-p}f(t)sen(\frac{n\pi}{p}t)dt\right]sen(\frac{n\pi}{p}x)\right]Si establecemos \alpha_n=n {\pi}/p\Delta\alpha=\alpha_(n-1) -\alpha_n= {\pi}/p, entonces se convierte en:

f(x)=\frac{1}{2{\pi}}(\int^{p}_{-p}f(t)dt)\Delta\alpha + \frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^\infty{}\left[\left[\int^{p}_{-p}f(t)cos{\alpha_nt)}dt\right]cos(\alpha_nx)+\left[\int^{p}_{-p}f(t)sen(\alpha_nt)dt\right]sen(\alpha_nx)\right]\Delta\alpha

Ahora vamos a expandir el intervalo (-p,p) haciendo que p\rightarrow{}\infty{}. Como p\rightarrow{}\infty{} implica que \Delta\alpha\rightarrow{}\infty{}. Por tanto, si la integral definida de menos infinito a más infinito existe, el límite del primer término es cero y el límite de la suma se convierte en:

f(t)=\frac{1}{\pi}\int^{\infty{}}_{0}\left[(\int^{\infty}_{-\infty}f(t)cos(\alpha t)dt) cos(\alpha x) + (\int^{\infty}_{-\infty}f(t)sen(\alpha t)dt) sen(\alpha x)\right]d\alpha

Como señala el siguiente resumen, la estructura básica de la integral de Fourier está dada por

f(x)= \frac{1}{\pi}\int^{\infty}_{0}(A(\alpha )cos(\alpha x) + B(\alpha )sen(\alpha x))d\alpha

donde

A(\alpha )=\int^{\infty}_{-\infty}f(x)cos(\alpha x)dx
B(\alpha )=\int^{\infty}_{-\infty}f(x)sen(\alpha x)dx


Convergencia de la integral de Fourier

Sean ff' continuas en cada intervalo finito, y sea f absolutamente integrable en (\infty,-\infty). Entonces la integral de Fourier de f en el intervalo converge hacia f en un punto de continuidad. En un punto de discontinuidad, la integral de Fourier convergerá hacia el promedio

\frac{f(x+)+f(x-)}{2}

donde f(x+)+f(x-) expresan el límite de f en x desde la derecha y desde la izquierda, respectivamente.

Función Par

Se dice que una función f es par cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que f(-x)=f(x).

Modifica los valores de x en la escena y observa lo que sucede con los valores de f(x) y de f(-x).

Al modificar los valores de x en la gráfica, la escena muestra también los valores de -x, de f(x) y de f(-x). Como has podido notar, la gráfica es simétrica con respecto al eje y, puesto que para todo valor x del dominio de la función se verifica que f(x)=f(-x)

Función Impar

Se dice que una función f es impar cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que f(-x)=-f(x). Modifica los valores de x en la escena y observa qué sucede con los valores de f(x) y de f(-x).

Al ir modificando los valores de x la gráfica muestra también los valores de -x, de f(x) y de f(-x). Observa que para cualquier valor del dominio, f(x)=-f(x). Habrás notado además que el segmento que une los puntos P1 y P siempre pasa siempre por el origen, punto del cual equidistan.

Todas estas funciones simétricas con respecto al origen de coordenadas, en las que se verifica que f(x)=-f(x), se denominan funciones impares.

Propiedades de la Transformada de Fourier

\begin{align}   & \mathbb{F}[f(t)]=F(\omega )=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{f(t)\cdot e^{-j\omega t}\partial t} \\   & \mathbb{F}^{-1}[F(\omega )]=f(t)=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{-\infty }^{\infty }{F(\omega )\cdot e^{+j\omega t}\partial \omega } \\  \end{align}


Linearidad \mathbb{F}\left[ \alpha f(t)+\beta g(t) \right]=\alpha F(\omega )+\beta G(\omega )
Dualidad \mathbb{F}[f(t)]=F(\omega )\to \mathbb{F}[F(t)]=2\pi f(-\omega )
Cambio de escala \mathbb{F}[f(at)]=\frac{1}{\left| a \right|}F\left( \frac{\omega }{a} \right)
Transformada de la conjugada \mathbb{F}[f^{*}(t)]=F^{*}(-\omega )
Translacion en el tiempo \mathbb{F}[f(t-t_{0})]=e^{-j\omega t_{0}}F(\omega )
Translacion en frecuencia \mathbb{F}[e^{+j\omega _{0}t}f(t)]=F(\omega -\omega _{0})
Derivacion en el tiempo \mathbb{F}\left[ \frac{\partial ^{n}f(t)}{\partial t^{n}} \right]=\left( j\omega  \right)^{n}F(\omega )
Derivacion en la frecuencia \mathbb{F}\left[ \left( -jt \right)^{n}f(t) \right]=\frac{\partial ^{n}F(\omega )}{\partial \omega ^{n}}
Transformada de la integral \mathbb{F}\left[ \int\limits_{-\infty }^{t}{f(\tau )\partial \tau } \right]=\frac{F(\omega )}{j\omega }+\pi F(0)\delta (\omega )
Transformada de la Convolucion \begin{align}   & \mathbb{F}\left[ f(t)*g(t) \right]= \\   & \mathbb{F}\left[ \int\limits_{-\infty }^{\infty }{f(\tau )g(t-\tau )\partial \tau } \right]=F(\omega )G(\omega ) \\  \end{align}
Teorema de Parseval \int\limits_{-\infty }^{\infty }{\left| f(t) \right|^{2}\partial t=\frac{1}{2\pi }}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\left| F(\omega ) \right|^{2}\partial \omega }


Teorema de Rayleigh

También conocido como teorema de plancherel. Para poder aplicarlo necesitamos conocer el espectro de la amplitud de la señal.

Por lo general se refiere al resultado que la transformada de Fourier es unitaria ; vagamente, que la suma (o integral) del cuadrado de una función es igual a la suma (o integral) del cuadrado de su transformada . Tiene su origen en un teorema de 1799 sobre la serie de Marc-Antoine Parseval , que se aplicó más tarde a la serie de Fourier . También es conocido como teorema de la energía de Rayleigh, o de identidad de Rayleigh, después de John William Strutt , Lord Rayleigh.

Aunque el teorema de “la” Parseval plazo es a menudo usado para describir la unitariedad de cualquier transformación de Fourier, especialmente en la física y la ingeniería , la forma general la mayor parte de esta propiedad es más propiamente llamado el teorema de Plancherel.

Supongamos que A (x) y B (x) son dos funciones complejas integrables de Riemmann con valores, en I de período 2π.

A (x) = \ sum_ {n =- \ infty} ^ a_ne ^ \ infty {} inx

y

B (x) = \ sum_ {n =- \ infty} b_ne ^ \ infty} ^ {inx

respectivamente. A continuación,

\ Sum_ {n =- \ infty} ^ \ infty a_n \ overline {b_n} = \ frac {1} {2 \ pi} \ int_ {- \ pi} A ^ \ pi (x) \ overline {B (x) dx},

donde i es la unidad imaginaria y las barras horizontales indican conjugación compleja .

Parseval, que al parecer se había limitado a funciones con valores reales, en realidad presenta el teorema sin pruebas, teniendo en cuenta que sea evidente. Hay varios casos importantes del teorema. En primer lugar, si B = A obtiene inmediatamente un:

\ Sum_ {n =- \ infty} ^ \ infty | a_n | ^ 2 = \ frac {1} {2 \ pi} \ int_ {- \ pi} ^ \ pi | A (x) | ^ 2 dx,

de la cual la unitariedad de la serie de Fourier siguiente.

En segundo lugar, a menudo se considera sólo la serie de Fourier para funciones reales A y B, que corresponde al caso especial: verdadero, a_ {-n} = \ overline {a_n} , B 0 real, y b_ {-n} = \ overline {} b_n . En este caso:

a_0 b_0 + 2 \ Re \ sum_ {n = 1} a_n ^ \ infty \ overline {b_n} = \ frac {1} {2 \ pi} \ int_ {- \ pi} A ^ \ pi (x) B (x ) dx,

donde \ Re denota la parte real .

Dualidad entre los dominios de Tiempo y Frecuencia

Impulso Delta

La delta de Dirac (inapropiadamente llamada función delta de Dirac) es una distribución (función generalizada) introducida por primera vez por el físico inglés Paul Dirac, en tanto que distribución define un funcional en forma de integral sobre un cierto espacio de funciones. Se escribe como:

\delta_{a}(x) \equiv \delta(x-a)

Siendo \delta(x)\, para el caso a = 0\,

En física la delta de Dirac puede representar la distribución de densidad de una masa unidad concentrada en un punto a. Esta función constituye una aproximación muy útil para funciones picudas y constituye el mismo tipo de abstracción matemática que una carga o masa puntual. En ocasiones se denomina también función de impulso. Además la delta de Dirac permite definir la derivada generalizada de funciones discontinuas, concretamente, se tiene la siguiente relación con la función escalón.

\delta_a(x) = \theta_a'(x)\,

Intuitivamente se puede imaginar la función δ(x) como una función que tiene un valor infinito en x = 0, tiene un valor nulo en cualquier otro punto, de tal manera que su integral es uno.

Definiciones

La Delta de Dirac es una “función generalizada” que viene definida por la siguiente fórmula integral:

\int_{-\infty}^\infty \delta(x-a) f(x) \, dx = f(a) \qquad \left[e.g. \int_{-\infty}^\infty \delta(x) \, dx = 1 \right ]

La Delta de Dirac no es una función estrictamente hablando puesto que se puede ver que requeriría tomar valores infinitos, a veces informalmente se define la delta de Dirac como el límite de una sucesión de funciones, que tienda a cero en todo punto del espacio excepto en un punto para el cual divergería hacia infinito de ahí la “definición convencional” dada por la convencional fórmula aplicada a las funciones definidas a trozos:

\delta(x) = \begin{cases} \infty, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 \end{cases} ;

Comúnmente en física la Delta de Dirac se usa como una distribución de probabilidad idealizada, técnicamente de hecho es unadistribución (en el sentido de Schwartz).

En términos del análisis dimensional, esta definición de δ(x) implica que δ(x) posee dimensiones recíprocas a dx.

Definición como distribución de densidad

\int_a^b f(x) \delta (x-x_0) \,d x = \left\{\begin{matrix}  f(x_0) & \mbox{si } a < x_0 < b  \\  0 & \mbox{si } x_0 < a \ \mbox{o} \ x_0 > b \end{matrix}\right.

Definición como límite de sucesiones de funciones

La delta de Dirac se define como “límite distribucional” de una sucesión de funciones que convergen puntualmente a la función cero en todos los puntos de su dominio excepto uno. Se dice que una sucesión de funciones fn(x) converge distribucionalmente cuando:

\left[ \lim_{n \to \infty} \int_{-\infty}^{\infty} f_n(x) \phi(x) dx \right] \to  d(\phi)

Donde φ es una función perteneciente a un espacio vectorial de funciones, y d es un funcional continuo del espacio vectorial dual (el conjunto de esos elementos continuos es un subespacio vectorial del dual, conocido como espacio dual topológico del espacio original de funciones. La Delta de Dirac centrada se puede definir como el límite distribucional del funcional dado por d(φ) = φ(0), es decir, el límite en el sentido de las distribuciones de una sucesión de funciones tales que:

\left[ \lim_{n \to \infty} \int_{-\infty}^{\infty} f_n(x) \phi(x) dx \right] \to  \phi(0)

Algunos ejemplos posibles de sucesión de funciones que cumpla lo anterior son:

\begin{matrix}   f_n(x)=\begin{cases}     n \quad \|x\|<\frac{1}{2n}\\     0 \quad \|x\|\ge\frac{1}{2n}  \end{cases} & f_n(x)=\cfrac{n}{\sqrt{\pi}}e^{-n^2x^2} \\   f_n(x)=\cfrac{1}{\pi}\cfrac{n}{n^2x^2+1} & f_n(x)=\cfrac{\sin nx}{\pi x}  \end{matrix}

Propiedades

Estas propiedades se pueden demostrar multiplicando ambos miembros de cada igualdad por una función f(x) e integrando teniendo en cuenta que la función Delta no puede formar parte del resultado a menos que esté dentro de una integral.

  • \delta(x)=\delta(-x)\,\!
  • f(x)\delta'(x)=-f'(x)\delta(x)\,\!
  • \delta'(x)=-\delta'(-x)\,\!
  • x^n\delta(x)=0 \qquad \forall n>0, x\in\mathbb{R}\,\!
  • (x-a)^n\delta(x-a)=0 \qquad \forall n>0\,\!
  • \delta(ax-b)=|a|^{-1}\delta(x-(b/a)) \qquad \forall a>0\,\!
  • h(x)\delta(x-a)=h(a)\delta(x-a)\,\!
  • h(x)\delta'(x-a) = h(a)\delta'(x-a)-h'(a)\delta(x-a)\,
  • \delta(f(x)) = \sum_n |f'(x_n)|^{-1}\delta(x-x_n), \quad \mbox{con}\ f(x_n)=0,\ f'(x_n)\ne 0
  • \delta(\omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i\omega t}dt

En coordenadas esféricas se tiene:

\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0) =  \begin{cases} \frac{1}{r^2\sin\theta}\delta(r-r_0) \delta(\theta-\theta_0)\delta(\phi-\phi_0) & x_0,y_0,z_0 \ne 0 \\ \frac{1}{2\pi r^2\sin\theta}\delta(r-r_0) \delta(\theta-\theta_0) & x_0=y_0=0,\ z_0 \ne 0 \\  \frac{1}{4\pi r^2}\delta(r-r_0) & x_0=y_0=z_0 = 0   \end{cases}

 

Enlaces de Referencia:

http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier

http://www.mitecnologico.com/Main/FuncionParEImpar

http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier#Propiedades_b.C3.A1sicas

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Parseval’s_theorem

http://translate.google.com.co/translate?hl=es&langpair=en|es&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Parseval’s_theorem

http://es.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Dirac


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