Exposición-Grupo 2

Filtros

Dispositivo selectivo en frecuencia que se usa para limitar el espectro de una señal a una banda de frecuencias especificas, modificando la amplitud y la fase de la señal.

Función de transferencia

Con independencia de la realización concreta del filtro (analógico, digital o mecánico) la forma de comportarse de un filtro se describe por su función de transferencia. Ésta determina la forma en que la señal aplicada cambia en amplitud y en fase al atravesar el filtro. La función de transferencia elegida tipifica el filtro. Algunos filtros habituales son:

  • Filtro de Butterworth, con una banda de paso suave y un corte agudo.
  • Filtro de Chebyshev, con un corte agudo pero con una banda de paso con ondulaciones
  • Filtros elípticos o filtro de Cauer, que consiguen una zona de transición más abrupta que los anteriores a costa de oscilaciones en todas sus bandas
  • Filtro de Bessel, que, en el caso de ser analógico, aseguran una variación de fase constante.

Archivo:Filtros electr.PNG

Se puede llegar a expresar matemáticamente la función de transferencia en forma de fracción mediante las transformaciones en frecuencia adecuadas. Se dice que los valores que hacen nulo el numerador son los ceros y los que hacen nulo el denominador son polos.

H(f)=\frac{numerador(f)}{denominador(f)}

El número de polos y ceros indica el orden del filtro y su valor determina las características del filtro, como su respuesta en frecuencia y su estabilidad.

Orden

El orden de un filtro describe el grado de aceptación o rechazo de frecuencias por arriba o por debajo, de la respectiva frecuencia de corte. Un filtro de primer orden, cuya frecuencia de corte sea igual a (F), presentará una atenuación de 6 dB en la primera octava (2F), 12 dB en la segunda octava (4F), 18 dB en la tercera octava (8F) y así sucesivamente. Uno de segundo orden tendría el doble de pendiente (representado en escala logarítmica). Esto se relaciona con los polos y ceros: los polos hacen que la pendiente baje con 20 dB por década y los ceros que suba también con 20 dB por década, de esta forma los polos y ceros pueden compensar su efecto.

Filt elect pend.PNG

Para realizar filtros analógicos de órdenes más altos se suele realizar una conexión en serie de filtros de 1º o 2º orden debido a que a mayor orden el filtro se hace más complejo. Sin embargo, en el caso de filtros digitales es habitual obtener órdenes superiores a 100.

Tipos de Filtros

Atendiendo a sus componentes constitutivos, naturaleza de las señales que tratan, respuesta en frecuencia y método de diseño, los filtros se clasifican en los distintos grupos que a continuación se indica.

Según la respuesta en frecuencia

  • Filtro paso bajo: Es aquel que permite el paso de frecuencias bajas, desde frecuencia 0 o continua hasta una determinada. Presentan ceros a alta frecuencia y polos a bajas frecuencia.
  • Filtro paso alto: Es el que permite el paso de frecuencias desde una frecuencia de corte determinada hacia arriba, sin que exista un límite superior especificado. Presentan ceros a bajas frecuencias y polos a altas frecuencias.
  • Filtro paso banda: Son aquellos que permiten el paso de componentes frecuenciales contenidos en un determinado rango de frecuencias, comprendido entre una frecuencia de corte superior y otra inferior.
  • Filtro elimina banda: También llamado filtro rechaza banda, atenua banda o filtro Notch, es el que dificulta el paso de componentes frecuenciales contenidos en un determinado rango de frecuencias, comprendido entre una frecuencia de corte superior y otra inferior.
  • Filtro multibanda: Es que presenta varios rangos de frecuencias en los cuales hay un comportamiento diferente.
  • Filtro variable: Es aquel que puede cambiar sus márgenes de frecuencia.

Filtros Activos y Pasivos

Filtros Analógicos y Digitales

Atendiendo a cómo se construye el filtro, bien con componentes electrónicos analógicos, bien con electrónica y lógica digitales, los filtros pueden clasificarse en:

  • Filtro analógico: es el filtro clásico. Diseñado con componentes analógicos tales como resistencias, condensadores y amplificadores operacionales.
  • Filtro digital: un chip o microprocesador se encarga del cálculo de la señal de salida en función de unos parámetros programados en el interior de la electrónica. Electrónicas típicas para el cálculo de filtros digitales son las FPGAs, DSPs, microprocesadores ymicrocontroladores (incluidos los ordenadores y PACs).

Hoy en día la mayoría de filtros son digitales debido a los beneficios de los sistemas digitales frente a los analógicos: repetitibilidad, estabilidad, redefinibles por software en vez de hardware, tamaño, etc

Transformada de Hilbert

La transformada de Hilbert \mathcal{H}, de una función real, s(t)\,, se obtiene mediante la convolución de las señales s(t) y 1 / (πt) obteniendo \widehat s(t). Por lo tanto, la transformada de Hilbert \widehat s(t) se puede interpretar como la salida de un sistema LTI con entrada s(t) y respuesta al impulso 1 / (πt).

Es una herramienta matemática útil para describir la envolvente compleja de una señal modulada por una portadora real. Su definición es:

\widehat s(t) = \mathcal{H}\{s\}(t) = (h*s)(t) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{s(\tau)}{t-\tau}\, d\tau.\,

donde \scriptstyle h(t) = 1/\pi t y considerando la integral como el valor principal (lo que evita la singularidad \tau = t\,).

La transformada de Hilbert posee una respuesta en frecuencia dada por la transformada de Fourier:

H(\omega ) = \mathcal{F}\{h\}(\omega)\, = \begin{cases}+j\,  & \mbox{si } \omega < 0\,  \\-j\,  & \mbox{si }  \omega > 0\,\end{cases}

o, de manera equivalente:

H(\omega ) = \mathcal{F}\{h\}(\omega)\, = -j\cdot \sgn(\omega)

j\, (o también i\,) es la unidad imaginaria

Y como:

\mathcal{F}\{\widehat s\}(\omega) = H(\omega )\cdot \mathcal{F}\{s\}(\omega),

la transformada de Hilbert produce el efecto de desplazar la componente de frecuencias negativas de s(t)\, +90° y las parte de frecuencias positivas −90°.

También tenemos que H^2(\omega ) = -1\,, por lo que multiplicando la ecuación anterior por -H(\omega )\,, obtenemos:

\mathcal{F}\{s\}(\omega) = -H(\omega )\cdot \mathcal{F}\{\widehat s\}(\omega)

de donde obtenemos la transformada inversa de Hilbert:

s(t) = -(h * \widehat s)(t) = -\mathcal{H}\{\widehat s\}(t).\,
Ejemplos:
Señal
s(t)\,
Transformada de Hilbert
\mathcal{H}\{s\}(t)
\sin(t)\, -\cos(t)\,
\cos(t)\, \sin(t)\,
1 \over t^2 + 1 t \over t^2 + 1
\sin(t) \over t
Función sinc
1 - \cos(t) \over t
\sqcap(t)
función rectángulo
{1 \over \pi} \ln \left | {t+{1 \over 2} \over t-{1 \over 2}} \right |
δ(t)
Función delta de Dirac
 {1 \over \pi t}


Pre-envolvente y Representación Canonica de Señales Pasabanda

Si g(t) es real, se puede definir la  pre-envolvente de la señal como la función compleja g+(t):

g+(t)=g(t)+jg´(t)

———-{2G(f),    f>0

G+(f)= {G(0),     f=0

———-{0,           f<0

 

g_(t)=g(t)-jg´(t)=g*+(t)

Note que el contenido frecuencial de la pre-envolvente para frecuencias positivas, g+(t) es nulo para f<0.

El contenido frecuencial de una señal pasabanda no es despreciable en la banda de paso, centrada alrededor de la frecuencia de la portadora +-fc y de extension 2W.

la pre-envolvente de una señal pasabanda puede expresarse en función de su envolvente compleja como el siguiente producto:

g+(t)=g'(t)exp(j2∏fc*t)

g'(t)=gi(t)+jgq(t)

g(t)=Re[g+(t)]=Re[g'(t)exp(j2∏fc*t)]

g(t)=gi(t)cos(2∏fc*t)-gq(t)sin(2∏fc*t)

Enlaces de Referencia:

http://www.monografias.com/trabajos28/filtros/filtros.shtml

http://es.wikipedia.org/wiki/Filtro_electr%C3%B3nico

http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Hilbert

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