Exposición-Grupo 3

Modulación de Onda Continua

Modulación Lineal

•La modulación lineal recibe su nombre porque el espectro que produce está relacionado en forma lineal con el espectro del mensaje. Entre los tipos de modulación lineal que existen se encuentran:
•DSB (Double Side Band)
•AM (Amplitude Modulation)
•SSB (Single Side Band)
•VSB (Vestigial Side Band)

Sea cual sea el tipo que se analice, las convenciones serán las siguientes:

•1. El mensaje x (t) estará limitado en banda (BW=W)
•2. El mensaje x (t) estará normalizado, esto es, |x (t)| <= 1. En este caso la potencia promedio será también menor e igual que 1 si proviene de una fuente ergódica.
•3. Muchas veces supondremos que el mensaje es un tono x (t)= AmCos(ωmt) lo cual tiene sentido dado que el análisis de Fourier nos permite representar señales en función de sinusoides y así aplicar superposición si los sistemas son lineales. Por otra parte como la modulación de onda continua utiliza portadora sinusoidal, la señal resultante ( si el ancho de banda fraccional es pequeño) puede analizarse como una sinusoide pura.

En su forma mas general la modulación lineal es definida por:

S(t) = Si(t) cos (2πfc t) – sq(t) cos (2πfc t)

Si(t) representa a la componente en fase y sq(t) a la componente en cuadratura.

En la modulación lineal ambas componentes son señales pasa bajo relacionadas linealmente con m(t).

Se debe tener presente lo siguiente:

•La componente en fase solo depende de la señal mensaje m(t).
•La componente en cuadratura es una versión filtrada de m(t). así la modificación espectral de la onda modulada s(t) es debida totalmente a sq(t).

Analizándolo mas generalmente sq(t) reduce o elimina potencia en una de las bandas laterales de s(t), dependiendo de cómo este definida.

Esquemas de la modulación  lineal

Modulación en doble banda lateral

Consiste del producto de la señal mensaje m(t) y la onda portadora c(t):

s(t)=c(t)m(t)

s(t)=accos(2πfct)m(t)

Esto produce que la señal modulada sufra inversiones de fase en cada cruce por cero de m(t).

La envolvente de dsb-sc es diferente de la señal mensaje.

En resumen exceptuando un cambio de escala, este esquema de modulación simplemente traslada el espectro de la señal banda base en ±fc.

La modulación en doble banda lateral equivale a una modulación AM, pero sin reinserción de la portadora.

•La principal ventaja de la modulación DBL respecto la modulación AM es que toda la potencia de la señal moduladora se emplea en la transmisión de la información, de modo que la relación señal-ruido (SNR) en recepción será mayor.
•El principal inconveniente es que su demodulación es más complicada, ya que el hecho de multiplicar directamente la señal portadora y la moduladora, implica que la envolvente de la señal modulada es directamente x(t), y teniendo en cuenta que x(t) tomará valores positivos y negativos, no podremos recuperar la información con un simple detector de envolvente.

Podemos calcular la potencia de la señal modulada DBL a partir de esta formula:

dónde PX es la potencia de la señal moduladora y Ap. la amplitud de la portadora.

Modulador de Anillo

Una aplicación de esta modulación es el modulador de anillo.

•Los cuatro diodos forman un anillo y son controlados por la onda Portadora

•Este modulador produce salidas de diferente polaridad según el Ciclo de la señal de entrada debido a los diodos

Modulación en doble banda lateral

La modulación dsb es muy utilizada para la transmisión de señales tanto continuas como digitales, y es muy importante pues ella ofrece una forma muy conveniente para preservar el espectro completo de una señal dada.

En efecto, todo lo que hay que hacer es trasladar, mediante modulación, el espectro de la señal a una frecuencia fc que sea mayor que el ancho de banda de la señal.

Modulación en banda lateral vestigial (vsb)

Teniendo en cuenta que las señales ssb son considerablemente dificiles de generar especialmente por los requerimientos de diseño de los filtros para eliminar las bandas laterales, se ha ideado un sistema alternativo de modulación.

En este sistema se logra un compromiso en la conservación de Ancho de banda permitiendo una mejor respuesta a bajas frecuencias(incluso f=0) y con UN RENDIMIENTO SIMILAR AL DE SSB.

En el sistema vestigial una banda lateral es suprimida parcialmente y un vestigio de la otra banda se transmite para compensar esa supresión.

La forma mas usada de generar vsb es usando el método de discriminación de frecuencia. Primero se genera una onda modulada dsb-sc y se pasa a través de un filtro pasa banda.

Envolvente

Cualquier señal de AM o FM puede escribirse como sigue:

En el caso de am, φ(t), la fase de la señal, es constante y puede ignorarse, por lo que toda la información en la señal está contenida en r(t), llamada la envolvente de la señal. de esta manera, una señal de am está dada por la ecuación:

con m(t) representando el mensaje de frecuencia de audio original, C la amplitud de la portadora, y R(t) es igual a C + m(t). Así, si la envolvente de una señal de AM puede extraerse, el mensaje original puede recuperarse

Detector de Envolvente

Un detector de envolvente  es un Circuito eléctrico que tiene como entrada una señal de alta frecuencia, y como salida la envolvente de la señal de entrada.

La mayoría de los detectores de envolvente prácticos usan rectificación de media onda o de onda completa de la señal para convertir la entrada de AC de audio en la señal de DC de pulsos

Modulación en Amplitud

Considerar la portadora sinusoidal dada por la ecuación, donde ac es la amplitud de la portadora y fc es la frecuencia de la portadora. Por conveniencia asumimos que la fase de la portadora es cero.

C(t) = ac cos(2_fct)


Sea m(t) la señal banda base que contiene la información. La señal c(t) es independiente de m(t). La modulación de amplitud (am) se define como el proceso en el cual la amplitud de la portadora c(t) varía en torno a un valor medio de forma lineal con la señal banda base m(t), donde ka es una constante denominada sensibilidad en amplitud del modulador.

S(t) = ac[1 + ka m(t)]cos(2_fct)

Si suponemos que ac es igual a la unidad y m(t) es la señal de la figura, se pueden dar dos casos:

Si |kam(t)| < 1 se tiene la señal modulada de la figura:

Si |kam(t)| > 1 se tiene la señal modulada de la figura:

Se puede observar que para que la envolvente de la señal siga la forma de la señal banda base m(t) se deben satisfacer dos condiciones:

Que |kam(t)| < 1. Esto asegura que 1 + kam(t) es siempre positivo y podemos expresar la envolvente  de la señal s(t) como ac[1 + kam(t)].

Cuando |kam(t)| > 1 debido a que la sensibilidad en amplitud ka es demasiado grande, la señal am se dice que esta sobre modulada, resultado que la fase de la señal am se invierte siempre que 1+kam(t) cambia de signo. Lo que va a dar lugar a una distorsión en la envolvente. Es evidente ver que si no hay sobre modulación hay una relación unívoca entre la envolvente de la señal am y la señal moduladora.

•El valor absoluto máximo de kam(t) multiplicado por cien se denomina porcentaje de modulación.
•La frecuencia de la portadora fc sea mucho mayor que la componente frecuencial superior de m(t),

Según la ecuación:

donde w es el ancho de banda de m(t). Si esto no se satisface, la envolvente no seguirá a la señal moduladora. Calculando ahora la transformada de Fourier de la señal modulada de la ecuación s(t) se tiene la ecuación:

Si suponemos que la transformada de Fourier de la señal moduladora m(f) tiene la  siguiente forma:

La transformada de Fourier de la señal modulada s(f) dada por la ecuación anterior  será:

De la figura anterior  se puede destacar lo siguiente:

Para frecuencias positivas la parte del espectro por encima de fc y para frecuencias negativas la parte del espectro por debajo de −fc se denomina banda lateral superior (usb: upper sideband) y Para frecuencias positivas la parte del espectro por debajo de fc y para frecuencias negativas la parte del espectro por encima de −fc se denomina banda lateral inferior (lsb: lower sideband). La Condición fc > w asegura que las bandas laterales inferiores (la positiva y la negativa) no se solapen.

Para frecuencias positivas, la componente frecuencial superior es fc + w y la inferior fc − w. La diferencia entre ambas define el ancho de banda de transmisión de la señal am que se representa mediante BT y viene dado por la ecuación:

Modulación de un tono simple

Si consideramos una señal modulante m(t) que es un tono o armónico simple:

M(t)=amcos(2πfmt)

Y la  onda portadora tiene una amplitud ac y frecuencia fc, entonces la onda am estará dada por:

La cual se puede ver como:

s(t)=Ac[1+μCOS(2πfmt)]COS(2πfct)

Donde μ=kaAm es llamado el factor o porcentaje de modulación.

Para evitar  la distorsión de envolvente este factor se debe mantener<1.

Si lo queremos poner en términos de los valores máximos y mínimos de la envolvente de la onda modulada encontramos la siguiente relación:

Si se expresa el producto de dos cosenos presente en la onda modulada como la suma de dos ondas senoidales, una de frecuencia fc+fm y la otra fc-fm, se obtiene:

Y su espectro será:

Modulador conmutado

La generación de una onda AM se puede lograr de muchas formas. Una de esas formas es mediante el uso de un modulador conmutado.

Se asume que la onda portadora aplicada al diodo es de gran amplitud, por lo que oscila plenamente a través de la curva característica del diodo. Este  diodo  actúa  como un switch ideal, presentando impedancia cero al estar polarizado directamente.

La señal v1(t) a la entrada del diodo viene dada por la suma de la señal moduladora y de la señal portadora según la ecuación, donde se supone que |m(t)|<<  Ac.

v1(t) = Ac cos(2fct) + m(t)

El voltaje v2(t) varia entre los valores v1(t) y cero a una tasa igual a la frecuencia de portadora fc.

Si suponemos que la señal moduladora es débil comparada con la señal portadora, |m(t)|  Ac, hemos reemplazado el comportamiento no lineal del diodo por un funcionamiento lineal variante con el tiempo.

Esto se puede expresar matemáticamente mediante la ecuación, donde gp(t) es un tren de pulsos periódico con medio periodo alto y medio bajo, con periodo T0 = 1/fc, como puede verse en la figura

La señal gp(t) se puede representar en serie de Fourier según la ecuación.

Así lo que se logra es linealizar el comportamiento del diodo.

V2(t)=[ac*cos(2πfct)+ m(t)]*g(t)

donde g(t) es un tren de pulsos periódico con ciclo de trabajo iguala ½ y periodo to=1/fc.  Sustituyendo esta señal g(t) por sus series de Fourier y combinándola con la expresión para v2 hallamos:

La componente:

La  cual es la onda AM deseada con sensibilidad de amplitud ka=4/πac.

Componentes indeseables cuyo espectro contiene funciones delta en cero, ±2fc, ±4fc, etc y ocupan intervalos de frecuencia de ancho 2w centrados en cero, ±3fc, ±5fc, etc siendo w el ancho de banda del mensaje.

Estos términos no deseados son removibles mediante un filtro pasa banda con frecuencia media fc y bw=2w asumiendo que fc>2w.

Esta condición asegura que las componentes indeseables y la onda am queden bien separadas en frecuencia para que el filtro pasa banda las pueda suprimir.

Demodulador de am

El proceso de demodulación es aquel que permite obtener una señal proporcional a la señal moduladora original m(t) a partir de la señal modulada s(t). De hecho, el proceso de demodulación es el proceso inverso del de modulación. Se va a describir un dispositivos para demodular am: el detector de envolvente.

Detector de envolvente

Alguna  versión de este dispositivo es usada en casi todos los receptores comerciales de radio am.

Para que funcione apropiadamente, la onda am debe ser de banda estrecha para lo cual fc debe ser mucho mayor que el bw del mensaje. Sin embargo, el porcentaje de modulación se debe mantener menor al100%.


En el ciclo positivo de la señal de entrada el diodo se polariza directamente y el capacitor se carga rápidamente al valor pico de la señal de entrada.

En el caso contrario el condensador se descarga hasta el siguiente ciclo positivo. La constante de tiempo de carga relaciona la resistencia en el diodo y la de la fuente de voltaje aplicada (rd+rs)c y debe ser pequeña al compararse con el periodo de la portadora:

(rd+rs)c<<1/fc

De otro lado la constante de descarga RLC debe ser suficientemente grande para asegurar que el capacitor se descargue lentamente atreves de la resistencia de carga Rl pero que no sea tan lento que c no se descargue a la máxima

Tasa de cambio de la onda modulante.

1/fc<<rlc<<1/w

El resultado que se obtiene es que el voltaje del capacitor o detector de salida es cercano a la envolvente de la onda AM.

Virtudes y limitaciones de la modulación de amplitud

•Su mayor virtud es su facilidad de generarse y de revertirse.
•Otra de sus ventajas es su implementación de bajo costo.

Pero se debe tener en cuenta que la potencia transmitida y el ancho de banda del canal son nuestros recursos primarios y deben ser usados eficientemente. Con esto en mente se aprecia que la forma estándar de am sufre de Las siguientes limitaciones:

•Desperdicio de potencia: la onda portadora c(t) es completamente independiente de la señal banda base. La transmisión de la onda portadora representa un desperdicio de potencia.
•Desperdicio de ancho de banda: las bandas laterales de una onda am están relacionadas entre sí por su simetría con respecto a la frecuencia de portadora. Así con conocer el espectro de fase y magnitud de una podríamos determinar la otra. Esto indica que con una sola banda lateral es suficiente y solo se necesita asegurar un ancho de banda de canal igual al de la señal mensaje y no 2w como se hace efectivamente. Lo que indica un desperdicio de ancho de banda.
•Para superar estos problemas se deben realizar cambios que implican un mayor complejidad del sistema para poder mejorar y hacer más eficiente la utilización de los recursos.

Translación en frecuencia

El teorema de traslación en frecuencia, establece que la multiplicación de una señal f(t) por una señal sinusoidal de frecuencia wc, traslada su espectro de frecuencia en ± wc radianes.

Consideremos el esquema de la figura

Sea F [f(t)]=F(w), la transformada de Fourier de la función f(t). Si aplicamos la transformada de Fourier a la entrada portadora considerando una función seno o coseno, se tienen los siguientes resultados:


De acuerdo con el teorema de convolución en la frecuencia, se tiene el siguiente resultado para ecuación 1 :

Resolviendo se tiene:

En forma análoga, tenemos para la ecuación 2:

Gráficamente, se puede tener el análisis espectral:

Modulación en Amplitud de Doble Banda Lateral con Portadora Suprimida (DSB-SC)

Esta técnica de modulación analógica, tiene como característica que la amplitud de la portadora Ac no modulada  y denotada por la ecuación:

Ac cos (wct + qc)

se varía en proporción a la señal de banda base o señal moduladora. En estas condiciones, se mantienen constantes wc y qc. El espectro de frecuencia de la señal modulante se desplaza hasta el valor de wc.

Espectro de frecuencias de señal modulante, portadora y señal AM con portadora suprimida.

Podemos obtener las siguientes observaciones:

La señal f(t) se denomina MODULANTE y es la que contiene la información que se desea transmitir.

La señal Cos(wct) es la PORTADORA, la cual determina la frecuencia a la cual va a ser trasladado el espectro de frecuencia.

El espectro de f(t).cos(wct) no contiene portadora.

El espectro de la moduladora es simétrico respecto al eje “y”, es decir, la información al lado derecho es igual al del lado izquierdo.

El espectro de f(t).cos(wc t) contiene dos bandas laterales para ±wc. La banda a la derecha de +wc se denomina banda lateral superior (B.L.S.) y la de la izquierda banda lateral inferior (B.L.I.). Para la frecuencia -wc  el tratamiento es análogo, es decir, la banda a la derecha de -wc se denomina banda lateral inferior (B.L.I.) y la de la izquierda banda lateral superior (B.L.S.).

Se debe tener en cuenta que el ancho de banda de la señal modulada es el doble del ancho de banda de la señal moduladora.

Este tipo de modulación se denomina Modulación de Doble Banda Lateral con Portadora Suprimida (del inglés, DSB-SC => Double-Sidebandm Suppressed Carrier).

 

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