Exposición-Grupo 6

RUIDO

Ruido es el sonido no deseado por el receptor y que le molesta para la recepción del sonido en el que está interesado.

—En el ámbito de la comunicación sonora o de cualquier otro vehículo de información, ruido es el sonido o cualquier otro vehículo de información que no contiene información clara que el receptor sea capaz de identificar, individualizar o comprender, aunque sí sea deseado.
—En teoría de la información se considera al ruido como una clase de información.
—En informática, ruido son los datos sin significado, que se producen simplemente como un subproducto no deseado de otras actividades.

El ruido constituye un problema grave en todos los receptores de radio. Hay diferentes tipos de ruido, como el zumbido, un tono constante de baja frecuencia, producido generalmente por la frecuencia de la fuente de alimentación de corriente alterna que se superpone a la señal debido a un filtrado o un apantallamiento defectuoso; el siseo, un tono constante de alta frecuencia, y el silbido, un tono limpio de alta frecuencia producido por una oscilación involuntaria de frecuencia audio, o por un golpeteo.

Sin embargo, ciertos tipos de ruidos no se pueden eliminar. El más importante en los equipos normales de AM de baja y media frecuencias es el ruido parásito, originado por perturbaciones eléctricas en la atmósfera. El ruido parásito puede proceder del funcionamiento de un equipo eléctrico cercano (como los motores de automóviles o aviones), pero en la mayoría de los casos proviene de los rayos y relámpagos de las tormentas. Las ondas de radio producidas por estas perturbaciones atmosféricas pueden viajar miles de kilómetros sin sufrir apenas atenuación, y, dado que en un radio de algunos miles de kilómetros respecto del receptor de radio siempre hay alguna tormenta.

—TRANSMISIÓN DE FM, AM, interferencia y ruido

—Como se ha visto anteriormente el término relación señal a ruido. La señal viene siendo la información deseada en una transmisión, y el ruido viene siendo como la información no-deseada. Generalmente las señales no deseadas son clasificadas como ruido. De aquí en adelante vamos a emplear el termino ruido para señales no deseadas de fuentes naturales, y el termino interferencia para señales no deseadas de fuentes hechas por el hombre. (aunque existe interferencia también por fuentes naturales).
—FM CONTRA AM
Los receptores de FM tienen menor ruido que los receptores de AM. La razón es que existe mayor ruido e interferencia en la señal portadora modulada en amplitud, y los sistemas FM están diseñados para eliminar las señales no deseadas de la portadora en amplitud modulada.
—FUENTES DE RUIDO
—Ruido térmico (Thermal Noise)
—Todos los objetos cuya temperatura esta por encima del cero absoluto (0 grados Kelvin) generan ruido eléctrico en forma aleatoria debido a la vibración de las moléculas dentro del objeto. Este ruido es llamado ruido térmico. La potencia de ruido generada depende solo de la temperatura del objeto, y no de su composición. Ya que esta es una propiedad fundamental, el ruido frecuentemente definido por su temperatura equivalente de ruido. La temperatura de ruido puede darse tanto en grados Kelvin como en decibeles. A continuación se presenta una formula para convertir grados Kelvin a dB.
—T (dB)= 10*log10(1+K/120)
—donde
T es la temperatura equivalente de ruido en dB
K es la temperatura en grados Kelvin
—La temperatura de el aire alrededor de nosotros es aproximadamente 300 K (27C ), y la temperatura del sol es muy alta (alrededor de 5,700 K). Es posible construir un amplificador cuya temperatura equivalente de ruido este por debajo de su actual temperatura, y para así agregar el menor ruido posible al receptor.
—Ruido Atmosférico (Atmospheric Noise)
—Existe un ruido que es interceptado por la antena llamado ruido atmosférico. El ruido atmosférico es muy alto para bajas frecuencias, y decrece cuando se incrementa la frecuencia. Esta presente en toda la banda de radiodifusión AM y este no puede ser eliminado con el amplificador y el diseño de la antena. El ruido atmosférico decrece bastante en frecuencias de TV y FM.
—FUENTES DE INTEFERENCIA
—La interferencia básicamente es hecha por el hombre excepto por condiciones atmosféricas y del clima. La mas notable son las descargas eléctricas (rayos). A continuación se mencionan algunos ejemplos de fuentes de interferencia:
—Sistema de encendido de vehículos, —Motores eléctricos, líneas de alta tensión, —luces de neón y fluorescentes, —Computadoras, —Otros tipos de transmisión, tales como la radio amateur, CB (Banda Civil), radio de la policía y otros servicios públicos, inclusive otras estaciones de FM o TV.
—Generalmente las fuentes que radian señales periódicas e intermitentes son llamadas fuentes de impulso. Algunos ejemplos son: interruptores eléctricos, luces de neón destellando, encendido de automóvil, rayos, etc. Los impulsos son de corta duración (microsegundos) y frecuentemente tienen amplitudes mas grandes que la señal que esta siendo recibida. La interferencia puede ser radiada como interferencia electromagnética (EMI), o conducida sobre las líneas eléctricas, en el caso del equipo con alimentación de Corriente alterna (AC).
—Interferencia de canales adyacentes
—La interferencia de canales adyacentes es muy común en arreas metropolitanas donde las estaciones (de AM o FM por ejemplo) son asignadas en frecuencias muy cercanas. En esas áreas donde la congestión de canales existe, los efectos pueden ser minimizados(si las estaciones están en diferentes direcciones) usando un rotor para orientar la antena para la mínima interferencia.
—
—Efecto de captura
—Los sistemas FM exhiben un fenómeno llamado “efecto de captura”, por lo cual la señal mas fuerte de dos adyacentes elimina a la más débil. Cuando se trata de sintonizar una señal débil, inmediatamente aparece la señal mas fuerte. Reduciendo la amplitud (potencia) de la señal mas fuerte afectara menos a la señal débil. Existe una sola forma de cambiar el efecto de captura es moviendo o rotando la antena, o obtener una antena mas direccional y apuntarla hacia la estación más débil.
En este articulo hemos hablado sobre la eliminación de señales no deseadas, y encontramos que estas pueden entrar al receptor y por la antena misma. La mejor manera para eliminar estas señales es remover la fuente. Si esto no es posible es recomendable proteger(blindar) o hacer uso de filtros.
Efectos del ruido en receptores AM y Efectos del ruido en receptores FM

El ruido en el canal de comunicación, se suma a la señal modulada. Debido al comportamiento aleatorio del ruido el resultado es que cambia la amplitud y la fase de las señales en el canal. Dicho de otra forma modula en amplitud y en frecuencia a lo que está en el canal.

El efecto de variar su fase en las señales de AM, es poco significativo, pero las variaciones de amplitud generan una considerable distorsión en los procesos de demodulación. Esto tiene como solución aumentar la potencia de transmisión, para mejorar la relación señal ruido en el canal.

Para las de FM, el efecto del ruido se lo trata de minimizar, limitando en amplitud la señal modulada en el receptor y de esa manera se elimina de manera significativa la parte del ruido que afecta la amplitud de la señal modulada.

Sin embargo, la señal modulada en FM, tienen una naturaleza espectral de portadora y bandas laterales armónicas a la señal modulante. La potencia total que transmite es siempre la misma y se distribuye en la portadora y las bandas laterales. Teniendo en cuenta que la amplitud y cantidad de banda laterales depende del índice de modulación. Ocurre que cuando se modula con frecuencias bajas (índices altos) entran muchas bandas laterales y la potencia total se concentra en ellas, pero cuando se modula con altas frecuencias (índices bajos), son pocas las bandas y de hecho la potencia total se distribuye más en la portadora que en las bandas laterales.

Al ingresar en el canal una señal modulada con estas características, si suponemos una misma energía de ruido sumada a la señal, genera que las de bajas frecuencias tienen mejor relación señal ruido las señales de alto índice al demodularlas que las de bajo índice. Esto es lógico porque al demodular se aprovecha la energía de las bandas y no la de portadora.

En por ello que cuando el ruido térmico con una densidad espectral constante se agrega a una señal FM, se produce una desviación de la frecuencia nodeseada de la portadora. La magnitud de esta desviación de frecuencia no deseada depende de la amplitud relativa del ruido con respecto a la portadora. Cuando esta desviación de la portadora no es desmodulada, se convierte en ruido si tiene los componentes de frecuencia que caen dentro del espectro de información frecuencia. La forma espectral del ruido desmodulado depende si se uso un demodulador FM o PM. El voltaje en salida de un demodulador Fm se incrementa en forma lineal con la frecuencia. Esto es comúnmente llamado el triangulo de ruido de Fm y se ilustra en la siguiente figura.

Pre-énfasis de enfasis en FM

El pre énfasis es el incremento del nivel de altas frecuencias de audio en proporción directa al aumento de amplitud del ruido en dichas frecuencias, antes de la modulación, con el fin de mantener una relación constante a través de toda la banda de transmisión. Lo contrario a esta acentuación sería la atenuación o deénfasis.La acentuación que permite el preénfasis supone más desviación de frecuencia de la que producirían las frecuencias originales.El triangulo de ruido explicado anteriormente muestra que con Fm, se exige una distribución uniforme del ruido. El mismo en las frecuencias de las señal modulante superiores, es inherente mayor en amplitud que el ruido en las frecuencias inferiores. Esto incluye la interferencia de frecuencia única y ruido térmico. Por lo tanto para las señales de información con un nivel de señal uniforme, se produce una relación señal ruido no uniforme y las frecuencias de la señal modulante mayores tienen una relación señal a ruido más bajo que las frecuencias inferiores. Esto se muestra en la figura a continuación. En donde puede observarse que la relación S/N es más baja en las orillas de la alta frecuencia del triangulo. Para compensar todo esto, las señales modulantes de alta frecuencia son enfatizadas o aumentadas en amplitud, en el transmisor antes de realizar la modulación.Para compensar este aumento, las señales de alta frecuencia son atenuadas o des enfatizadas en el receptor después de que se ha realizado la demodulación. De énfasis es el reciproco de preénfasis, y por lo tanto una red de de énfasis restaura las características originales de amplitud vs frecuencia a las señales
de información.
Especialmente la red de preénfasis permite que las señales modulantes de alta frecuencia modulen la portadora a un nivel más alto y, por lo tanto, causen más desviación de frecuencia que la que sus amplitudes originales hubiesen producido. Las señales de alta frecuencia se propagan por el sistema a un nivel elevado (desviación de frecuencia incrementada), de moduladas y, después, restauradas a sus proporciones de amplitud originales. La figura anterior (b) muestra los efectos de preénfasis y deénfasis sobre la relación señal-a-ruido. Ambas producen una relación señal ruido más uniforme en el espectro de frecuencia de la señal modulante.

Una red de preénfasis es un filtro de pasa altos ( es decir un diferenciador ) y una red de deénfasis es un filtro de pasa bajos (un integrador) en la parte (a) de la figura muestra los diagramas esquemáticos para una red de preénfasis activa y una red de deénfasis pasiva. Las curvas de respuesta de frecuencia correspondientes se muestran en la parte (b). Una red de preénfasis le proporciona un incremento constante en la amplitud de la señal modulante con un incremento en la frecuencia con FM, se logran aproximadamente 12dB de mejoría en el rendimiento del ruido utilizando preénfasis y deénfasis.

Enlaces de Referencia:
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Exposición-Grupo 5

Modulación de Onda  Continua

Phase-Locked Loop (PLL) es un sistema de realimentación negativa, cuya operación está relacionada estrechamente con la modulación de frecuencia.

Puede ser usado para sincronización, división o multiplicación de frecuencias, y  para demodulación  indirecta  de  frecuencia.

Esta constituido primordialmente por tres elementos: un multiplicador, un filtro de lazo y un oscilador controlado por voltaje, conectados formando un lazo realimentado.

El VCO es un generador sinusoidal en el que la frecuencia es determinada por una tensión aplicada por una fuente externa así cualquier modulador de frecuencia puede usarse.

El objetivo de un PLL es generar una salida de VCO (r(t)) que tenga el mismo ángulo de fase (excepto por una diferencia fija de 90°) que la señal de entrada FM.

Un PLL es un sistema de feed­back que comprende un comparador de fase, un filtro pasa bajas y un amplificador de error en la trayectoria de la señal hacia adelante y un oscilador controlado por tensión (VCO) en la tra­yectoria de feedback.

—El detector de fase, como su propio nombre indica, es capaz de determinar el desfase existente entre dos señales. Existe una gran variedad de ellos, de los que se destacan los siguientes: detectores de fase de muestreo y retención, detectores de fase de tipo discriminador, detectores de fase de tipo multiplicador y detectores de fase digitales. Dependiendo de la aplicación para la que se va a usar el PLL hay que ponerle un detector de fase u otro, ya que no hay uno que sea el mejor sino que depende del uso que se le dé al circuito.

Efectos no Lineales en Sistemas FM

Las no linealidades están presentes, de una u otra forma, en todas las redes eléctricas. Existen 2 formas básicas de no linealidad a considerar:

-Se afirma que la no linealidad es fuerte cuando se introduce intencionalmente y de una manera controlada en alguna aplicación específica. Entre los ejemplos de la no linealidad fuerte se incluyen los moduladores cuadráticos, los limitadores rígidos y los multiplicadores de frecuencia.
-Se dice que la no linealidad es débil cuando se desea un desempeño lineal, pero surgen no linealidades de naturaleza parásita debido a imperfecciones. El efecto de estas no linealidades débiles es limitar los niveles de señal útiles en un sistema y, en consecuencia, se vuelven una importante consideración del diseño.

Consideremos un canal de comunicaciones, cuya característica de transferencia se define por medio de la relación de entrada-salida no lineal.

Donde Vi(t) y Vo(t) son las señales de entrada y salida, respectivamente, y a1, a2, y a3 son constantes. El canal que se describe en la ecuación se dice que es sin memoria en cuanto a la señal de salida es una función instantánea de la señal de entrada (es decir, no hay almacenamiento de energía implicado en la descripción). Deseamos determinar el efecto de transmitir una onda modulada en frecuencia por una canal de este tipo. La señal FM se define mediante

Donde

—Para esta señal de entrada, el uso de la ecuación (1) produce

 

De tal modo, la salida del canal consiste en una componente de cd y en tres señales moduladas en frecuencia con frecuencias de portadoras fc, 2fc y 3fc; los últimos componentes se establecen mediante la aportación respectiva de los términos lineales de segundo y tercer orden de la ecuación (1).

Para extraer la señal de FM deseada de la salida del canal Vo(t) es decir, la componente particular con frecuencia de portadora fc, es necesario separar la señal de FM con esta frecuencia de portadora de aquella con la frecuencia de portadora más cercana, 2fc  .  Dejemos que ∆f denote la desviación de frecuencia de la señal de FM entrante  Vi(t) y que W indique la componente de más alta frecuencia de la señal del mensaje m(t). En ese caso, al aplicar la regla de Carson y al observar que se duplica la desviación de frecuencia alrededor de la segunda armónica de la frecuencia de portadora, encontramos que la condición necesaria para separar la señal de FM deseada con la frecuencia de portadora  fc de aquella con frecuencia de portadora  es 2fc

En la figura podemos ver el espectro en un caso particular para la señal Vo(t).

El problema se soluciona mediante:

—La imposición de una condición a la frecuencia de modulación y al ancho de banda de las señales para evitar que se solapen las distintas componentes espectrales.
—Un filtro paso de banda que discrimine la componente espectral deseada.
—
—RECEPTOR SUPERHETERODINO

Sin importar el esquema de modulación imperante, en un sistema de transmisión el receptor cumple otras tareas aparte de solo demodular  la señal entrante:

•Sintonización de frecuencia de portadora: esta función permite seleccionar la señal deseada (canal o emisora).
•Filtrado: esta función se requiere para separar la señal deseada de otras señales moduladas que pueden ser recibidas.
•Amplificación: tarea es compensar la pérdida de potencia de señal durante el proceso de transmisión.

Hasta ahora  los receptores tratados siempre recibían una señal centrada a una frecuencia fija fc y así tanto el amplificador de RF como el oscilador local se sintonizaban a la misma frecuencia.

Sucede que en la práctica es necesario transmitir a diferentes valores de frecuencia o bandas y esto obligaría a sintonizar todos los dispositivos en cada cambio de frecuencia.

El receptor superheterodino o superhet permite suplir estas necesidades, evitando tener que construir un filtro sintonizado variable y altamente selectivo, esto ha hecho que se popularice y se haya convertido en la norma en receptores.

Etapas del receptor superheterodino

-—Tuner(sintonizador) y antena
-—Oscilador local
-—Mixer (mezclador)
-—Amplificador IF (frecuenc ia intermedia)
-—Demodulador o discriminador
-—CAG y CAF
—-Amplificador de audio

Exposición-Grupo 4

Multiplexación por División de Frecuencia (FDM)

El FDM es un esquema análogo de multiplexado; donde información que entra a un sistema FDM es analógica y permanece analógica durante toda su transmisión.

La tecnología actual incluye medios de gran ancho de banda (BW), como el cable coaxial, la fibra óptica y las microondas terrestre y satelital. Cualquiera de estos medios tiene una capacidad que sobrepasa las necesidades medias para transmitir una señal.

La economía de la escala desempeña un papel importante en el sistema telefónico. Esto cuesta esencialmente la misma cantidad de dinero para instalar y mantener un tronco de anchura de banda alta como el tronco de anchura de banda baja entre dos oficiales que cambian. Por consiguiente, las compañías telefónicas han desarrollado esquemas complicados para la multiplexación muchas conversaciones sobre un tronco físico solo.

Para optimizar la utilización del medio de transmisión, se ha desarrollado la multiplexación, que es un conjunto de técnicas que permite la transmisión simultanea de múltiples señales a través de un único enlace.

Los dispositivos de entrada envían sus flujos de transmisión a un MUX, que los combina en un único flujo.

En el receptor, el flujo se introduce en un DEMUX, que separa los flujos componentes y los dirige a sus correspondientes receptores.

El enlace es el camino físico. El canal es una porción de amino que lleva una transmisión entre dos dispositivos.

EXISTEN TRES TÉCNICAS BÁSICAS DE MULTIPLEXACIÓN

-Por división de Frecuencia(FDM)
-Por división de longitud de onda(WDM)
-Por división de tiempo(TDM)
La FDM es usada para dividir la anchura de banda disponible en un medio físico en varios canales lógicos independientes más pequeños con cada canal que tiene una pequeña anchura de banda. El método de usar varias frecuencias de portador cada uno de las cuales es modulado por una señal de discurso independiente es de hecho la multiplexación por división de frecuencia.

VENTAJAS DE FDM

1.El sistema de FDM apoya el flujo de dúplex total de información que es requerido por la mayor parte de la aplicación.
2.El problema del ruido para la comunicación análoga tiene menos el efecto.
3.Aquí el usuario puede ser añadido al sistema por simplemente añadiendo otro par de modulador de transmisor y modulador receptor.

DESVENTAJAS DE FDM

1.En el sistema FDM, el coste inicial es alto. Este puede incluir el cable entre los dos finales y los conectores asociados para el cable.
2.En el sistema FDM, un problema para un usuario puede afectar a veces a otros.
3.En el sistema FDM, cada usuario requiere una frecuencia de portador precisa.

PROCESOS EN FDM

FDM es una técnica analógica que se puede aplicar cuando el BW de un enlace es mayor que los BW combinados de las señales a transmitir.

PROCESO DE MULTIPLEXACIÓN

Cada fuente genera una señal con un rango de frecuencia similar. Dentro del MUX, estas señales similares se modulan sobre distintas frecuencias portadoras (f1, f2 y f3).

Las señales moduladas resultantes se combinan en una única señal compuesta que se envía sobre un enlace que tiene BW suficiente para acomodarlas.

PROCESO DE DEMULTIPLEXACIÓN

El DEMUX usa filtros para descomponer la señal multiplexada en las señales componentes que la constituyen.

Las señales individuales se pasan después a un demodulador que las separa de sus portadoras y las pasa a líneas de salida.

JERARQUÍA DE MULTIPLEXACIÓN ANALÓGICA

Para maximizar la eficiencia de su infraestructura, las compañías telefónicas multiplexan las señales de líneas con BW pequeño sobre líneas con mayor BW. Para líneas analógicas se utiliza FDM.

APLICACIONES DE FDM

MODULACIÓN ANGULAR

La modulación en frecuencia y en fase, son ambas formas de la modulación angular.

Erróneamente, a ambas formas de la modulación angular se les llama simplemente FM.

Existen varias ventajas en utilizar la modulación angular en vez de la modulación en amplitud, tal como la reducción de ruido, la fidelidad mejorada del sistema y el uso más eficiente de la potencia.

Sin embargo, FM y PM, tienen varias desventajas importantes, las cuales incluyen requerir un ancho de banda extendido y circuitos más complejos, tanto en el transmisor, como en el receptor.

La modulación angular fue introducida primero en 1931, como una alternativa a la modulación en amplitud. Se sugirió que la onda con modulación angular era menos susceptible al ruido que AM y, consecuentemente, podía mejorar el rendimiento de las comunicaciones de radio.

¿Por qué modular una señal en comunicaciones?

Modular una señal consiste en modificar alguna de las características de esa señal, llamada portadora, de acuerdo con las características de otra señal llamada moduladora.

Observamos que la señal portadora es modificada basándose en la amplitud de la señal moduladora y la señal resultante es la que se muestra en el lado derecho.

El objetivo de modular una señal, es tener un control sobre la misma.  El control se hará sobre ciertos elementos característicos de una oscilación continua; estos son modificados según la forma de onda de la señal que se desea transmitir.

La modulación angular resulta cuando el ángulo de fase, de una onda sinusoidal, varía con respecto al tiempo sin tocar los otros parámetros. La onda con modulación angular se muestra matemáticamente como

La frecuencia angular ω se interpreta aquí como frecuencia angular instantánea y la fase como fase Instantánea. Es decir, la frecuencia y la fase pueden variar instantáneamente de acuerdo con la señal Moduladora. De acuerdo a esto, puede definirse la frecuencia de la portadora como:

La señal resultante de la modulación en frecuencia esta dada por una representación sinusoidal de la forma:

En, φ(t) es el ángulo instantáneo de fase de la señal.

Ahora bien, la fase instantánea y la frecuencia instantánea están relacionadas mediante:

E, inversamente,

Y, para una señal de frecuencia constante ωc = 2 π fc se tiene:

Donde φ0 es la constante de integración y representa la fase inicial de la señal de frecuencia angular ωc. Si la integral se hace definida en el intervalo (0,t), entonces φ0 = 0, de modo que podemos omitirla sin pérdida de generalidad.

MODULACIÓN EN FASE Y EN FRECUENCIA

Modulación en fase (PM): Es una modulación angular que consiste en hacer variar la fase de la portadora según las variaciones de tensión de la señal moduladora.

Sea t el tiempo, x(t) la señal moduladora, A la amplitud de la portadora,  fo la frecuencia de la portadora y  ϕo la fase inicial de la portadora. Se tiene que la modulación de fase, y(t), es:

Modulación en frecuencia (FM): Es una modulación angular que consiste en hacer variar la frecuencia de la portadora según las variaciones de tensión de la señal moduladora.

Sea t el tiempo,  x(t) la señal moduladora, A la amplitud de la portadora, fo la frecuencia de la portadora y Δf la máxima desviación de frecuencia. Se tiene que la modulación de frecuencia, y(t), es:

INDICE DE MODULACIÓN

Es la máxima desviación de fase.

Para PM, el índice de modulación es proporcional a la amplitud de la señal modulante, independientemente de su frecuencia.

El índice de modulación para una portadora de fase modulada se muestra matemáticamente como:

m = KVm radianes

Para FM, el índice de modulación es directamente proporcional a la amplitud de la señal modulante e inversamente proporcional a su frecuencia y se muestra matemáticamente. Como:

m=(K1∗ Vm)/wm                                                   m=(K1∗ Vm)/(2Πfm )

Importancia de la Modulación

Estas técnicas de modulación permiten un mejor aprovechamiento del canal de comunicación lo que posibilita transmitir más información en forma simultánea, protegiéndola de posibles interferencias y ruidos.

Existen varias razones para modular, entre ellas:

* facilita la propagación de la señal de información por cable o por el aire.

* ordena el radioespectro, distribuyendo canales a cada información distinta.

* disminuye dimensiones de antenas.

* optimiza el ancho de banda de cada canal

* evita interferencia entre canales.

* protege a la información de las degradaciones por ruido.

* define la calidad de la información trasmitida.

MODULACIÓN DE FRECUENCIA (F.M.)

La FM fue utilizada en un principio por la radiodifusión para crear canales radiofónicos, a continuación daremos a conocer los diferentes métodos de modulación de frecuencia que han aportado un gran desarrollo a las telecomunicaciones.

CARACTERÍSTICAS DE FM

Las características derivadas de su mayor anchura de canal no son consecuencia directa de la tecnología de FM (aunque este tipo de modulación necesita un mayor consumo de espectro), sino de una decisión política de comunicación. Cuando se desarrolló la frecuencia modulada, la banda de MF (tradicional en los servicios de radio) estaba completamente saturada, por lo que se adjudicó la banda   de VHF, espectro que ofrecía grandes posibilidades de expansión para los  nuevos servicios de radiodifusión.

DEFINICION Y EXPRESION MATEMÁTICA

La expresión matemática de la señal portadora, está dada por:

(1) vp(t) = Vp sen(2π fp t)

Mientras que la expresión matemática de la señal moduladora está dada por:

(2) vm(t) = Vm sen(2π fm t)

la expresión matemática de la señal modulada resulta

vp(t) = Vp sen[2π (fp + Δf sen(2 π fm t) ) t]

FM DE BANCHA ANGOSTA Y BANDA ANCHA


Espectro en frecuencia de la FM

Cuando modulamos una onda portadora con la voz humana o con música, que son ambas señales de baja frecuencia, además de aparecer los múltiplos de las frecuencias de modulación también surgen combinaciones de estos múltiplos, por lo que, si sólo con los múltiplos el número de frecuencias era muy alto, ahora va a ser altísimo.

TRANSMISIÓN POR DESPLAZAMIENTO DE FRECUENCIA(FSK)

De la ecuación anterior puede verse que, con el FSK binario, la amplitud de la portadora Vc se mantiene constante con la modulación. Sin embargo, la frecuencia en radianes de la portadora de salida (wc) cambia por una cantidad igual a ± Aw/2. El cambio de frecuencia (D w/2) es proporcional a la amplitud y polaridad de la señal de entrada binaria.

SALTO EN FRECUENCIA (FHSS: FREQUENCY HOPPING SPREAD SPECTRUM)

Para llevar acabo la transmisión de datos es necesario que tanto el aparato que envía como el que recibe información coordinen este denominado “Hopping Pattern”. El estandar IEEE 802.11 utiliza FHSS, aunque hoy en dia la tecnología que sobresale utilizando FHSS es Bluetooth.

DEMODULADOR F.M.

La frecuencia de la señal que va a llegar al circuito es variable. Al aumentar la frecuencia de la tensión de la señal de alta frecuencia, la reactancia inductiva de la bobina va a incrementarse y con ella aumenta la tensión entre sus bornes. Por el contrario, si disminuye la frecuencia va a disminuir la reactancia inductiva de la bobina y con ella la tensión en sus bornes. La señal de la entrada es de amplitud constante al estar modulada en frecuencia y no en amplitud.

RECOMENDACIONES PARA LA TRANSMISION F.M.

žLa UIT-R ha establecido las siguientes recomendaciones para la Radiodifusión FM:
ž
Desviación Máxima de Frecuencia, Δf = 75 kHz
Ancho de Banda máximo permitido, BT = 200 kHz
Estabilidad de frecuencia de la portadora, ± 2×10−3 %
Gama del Espectro, desde 88 hasta 108 MHz
ž
žEn la práctica hay cinco grandes aplicaciones en las cuales se utiliza la Modulación FM:
žžRadiodifusión No Comercial, desde 88 a 90 MHz
žžRadiodifusión Comercial, con ancho de banda de 200 kHz, desde 90 a 108 MHz
žžCanales de Audio en Televisión, con ancho de banda DE 50 kHz, desde 54 a 88 MHz, 174 a 216 MHz y 470 a 806 MHz
žž Canales de Banda Angosta para Servicio Público, desde 108 a 174 MHz, y sobre 806 MHz
žžCanales de Banda Angosta para el Servicio de Radioaficionados, en 29,6 MHz, desde 52 a 53 MHz, 144 a 147,99 MHz, 440 a 450 MHz, y sobre 902 MHz.

Exposición-Grupo 3

Modulación de Onda Continua

Modulación Lineal

•La modulación lineal recibe su nombre porque el espectro que produce está relacionado en forma lineal con el espectro del mensaje. Entre los tipos de modulación lineal que existen se encuentran:
•DSB (Double Side Band)
•AM (Amplitude Modulation)
•SSB (Single Side Band)
•VSB (Vestigial Side Band)

Sea cual sea el tipo que se analice, las convenciones serán las siguientes:

•1. El mensaje x (t) estará limitado en banda (BW=W)
•2. El mensaje x (t) estará normalizado, esto es, |x (t)| <= 1. En este caso la potencia promedio será también menor e igual que 1 si proviene de una fuente ergódica.
•3. Muchas veces supondremos que el mensaje es un tono x (t)= AmCos(ωmt) lo cual tiene sentido dado que el análisis de Fourier nos permite representar señales en función de sinusoides y así aplicar superposición si los sistemas son lineales. Por otra parte como la modulación de onda continua utiliza portadora sinusoidal, la señal resultante ( si el ancho de banda fraccional es pequeño) puede analizarse como una sinusoide pura.

En su forma mas general la modulación lineal es definida por:

S(t) = Si(t) cos (2πfc t) – sq(t) cos (2πfc t)

Si(t) representa a la componente en fase y sq(t) a la componente en cuadratura.

En la modulación lineal ambas componentes son señales pasa bajo relacionadas linealmente con m(t).

Se debe tener presente lo siguiente:

•La componente en fase solo depende de la señal mensaje m(t).
•La componente en cuadratura es una versión filtrada de m(t). así la modificación espectral de la onda modulada s(t) es debida totalmente a sq(t).

Analizándolo mas generalmente sq(t) reduce o elimina potencia en una de las bandas laterales de s(t), dependiendo de cómo este definida.

Esquemas de la modulación  lineal

Modulación en doble banda lateral

Consiste del producto de la señal mensaje m(t) y la onda portadora c(t):

s(t)=c(t)m(t)

s(t)=accos(2πfct)m(t)

Esto produce que la señal modulada sufra inversiones de fase en cada cruce por cero de m(t).

La envolvente de dsb-sc es diferente de la señal mensaje.

En resumen exceptuando un cambio de escala, este esquema de modulación simplemente traslada el espectro de la señal banda base en ±fc.

La modulación en doble banda lateral equivale a una modulación AM, pero sin reinserción de la portadora.

•La principal ventaja de la modulación DBL respecto la modulación AM es que toda la potencia de la señal moduladora se emplea en la transmisión de la información, de modo que la relación señal-ruido (SNR) en recepción será mayor.
•El principal inconveniente es que su demodulación es más complicada, ya que el hecho de multiplicar directamente la señal portadora y la moduladora, implica que la envolvente de la señal modulada es directamente x(t), y teniendo en cuenta que x(t) tomará valores positivos y negativos, no podremos recuperar la información con un simple detector de envolvente.

Podemos calcular la potencia de la señal modulada DBL a partir de esta formula:

dónde PX es la potencia de la señal moduladora y Ap. la amplitud de la portadora.

Modulador de Anillo

Una aplicación de esta modulación es el modulador de anillo.

•Los cuatro diodos forman un anillo y son controlados por la onda Portadora

•Este modulador produce salidas de diferente polaridad según el Ciclo de la señal de entrada debido a los diodos

Modulación en doble banda lateral

La modulación dsb es muy utilizada para la transmisión de señales tanto continuas como digitales, y es muy importante pues ella ofrece una forma muy conveniente para preservar el espectro completo de una señal dada.

En efecto, todo lo que hay que hacer es trasladar, mediante modulación, el espectro de la señal a una frecuencia fc que sea mayor que el ancho de banda de la señal.

Modulación en banda lateral vestigial (vsb)

Teniendo en cuenta que las señales ssb son considerablemente dificiles de generar especialmente por los requerimientos de diseño de los filtros para eliminar las bandas laterales, se ha ideado un sistema alternativo de modulación.

En este sistema se logra un compromiso en la conservación de Ancho de banda permitiendo una mejor respuesta a bajas frecuencias(incluso f=0) y con UN RENDIMIENTO SIMILAR AL DE SSB.

En el sistema vestigial una banda lateral es suprimida parcialmente y un vestigio de la otra banda se transmite para compensar esa supresión.

La forma mas usada de generar vsb es usando el método de discriminación de frecuencia. Primero se genera una onda modulada dsb-sc y se pasa a través de un filtro pasa banda.

Envolvente

Cualquier señal de AM o FM puede escribirse como sigue:

En el caso de am, φ(t), la fase de la señal, es constante y puede ignorarse, por lo que toda la información en la señal está contenida en r(t), llamada la envolvente de la señal. de esta manera, una señal de am está dada por la ecuación:

con m(t) representando el mensaje de frecuencia de audio original, C la amplitud de la portadora, y R(t) es igual a C + m(t). Así, si la envolvente de una señal de AM puede extraerse, el mensaje original puede recuperarse

Detector de Envolvente

Un detector de envolvente  es un Circuito eléctrico que tiene como entrada una señal de alta frecuencia, y como salida la envolvente de la señal de entrada.

La mayoría de los detectores de envolvente prácticos usan rectificación de media onda o de onda completa de la señal para convertir la entrada de AC de audio en la señal de DC de pulsos

Modulación en Amplitud

Considerar la portadora sinusoidal dada por la ecuación, donde ac es la amplitud de la portadora y fc es la frecuencia de la portadora. Por conveniencia asumimos que la fase de la portadora es cero.

C(t) = ac cos(2_fct)


Sea m(t) la señal banda base que contiene la información. La señal c(t) es independiente de m(t). La modulación de amplitud (am) se define como el proceso en el cual la amplitud de la portadora c(t) varía en torno a un valor medio de forma lineal con la señal banda base m(t), donde ka es una constante denominada sensibilidad en amplitud del modulador.

S(t) = ac[1 + ka m(t)]cos(2_fct)

Si suponemos que ac es igual a la unidad y m(t) es la señal de la figura, se pueden dar dos casos:

Si |kam(t)| < 1 se tiene la señal modulada de la figura:

Si |kam(t)| > 1 se tiene la señal modulada de la figura:

Se puede observar que para que la envolvente de la señal siga la forma de la señal banda base m(t) se deben satisfacer dos condiciones:

Que |kam(t)| < 1. Esto asegura que 1 + kam(t) es siempre positivo y podemos expresar la envolvente  de la señal s(t) como ac[1 + kam(t)].

Cuando |kam(t)| > 1 debido a que la sensibilidad en amplitud ka es demasiado grande, la señal am se dice que esta sobre modulada, resultado que la fase de la señal am se invierte siempre que 1+kam(t) cambia de signo. Lo que va a dar lugar a una distorsión en la envolvente. Es evidente ver que si no hay sobre modulación hay una relación unívoca entre la envolvente de la señal am y la señal moduladora.

•El valor absoluto máximo de kam(t) multiplicado por cien se denomina porcentaje de modulación.
•La frecuencia de la portadora fc sea mucho mayor que la componente frecuencial superior de m(t),

Según la ecuación:

donde w es el ancho de banda de m(t). Si esto no se satisface, la envolvente no seguirá a la señal moduladora. Calculando ahora la transformada de Fourier de la señal modulada de la ecuación s(t) se tiene la ecuación:

Si suponemos que la transformada de Fourier de la señal moduladora m(f) tiene la  siguiente forma:

La transformada de Fourier de la señal modulada s(f) dada por la ecuación anterior  será:

De la figura anterior  se puede destacar lo siguiente:

Para frecuencias positivas la parte del espectro por encima de fc y para frecuencias negativas la parte del espectro por debajo de −fc se denomina banda lateral superior (usb: upper sideband) y Para frecuencias positivas la parte del espectro por debajo de fc y para frecuencias negativas la parte del espectro por encima de −fc se denomina banda lateral inferior (lsb: lower sideband). La Condición fc > w asegura que las bandas laterales inferiores (la positiva y la negativa) no se solapen.

Para frecuencias positivas, la componente frecuencial superior es fc + w y la inferior fc − w. La diferencia entre ambas define el ancho de banda de transmisión de la señal am que se representa mediante BT y viene dado por la ecuación:

Modulación de un tono simple

Si consideramos una señal modulante m(t) que es un tono o armónico simple:

M(t)=amcos(2πfmt)

Y la  onda portadora tiene una amplitud ac y frecuencia fc, entonces la onda am estará dada por:

La cual se puede ver como:

s(t)=Ac[1+μCOS(2πfmt)]COS(2πfct)

Donde μ=kaAm es llamado el factor o porcentaje de modulación.

Para evitar  la distorsión de envolvente este factor se debe mantener<1.

Si lo queremos poner en términos de los valores máximos y mínimos de la envolvente de la onda modulada encontramos la siguiente relación:

Si se expresa el producto de dos cosenos presente en la onda modulada como la suma de dos ondas senoidales, una de frecuencia fc+fm y la otra fc-fm, se obtiene:

Y su espectro será:

Modulador conmutado

La generación de una onda AM se puede lograr de muchas formas. Una de esas formas es mediante el uso de un modulador conmutado.

Se asume que la onda portadora aplicada al diodo es de gran amplitud, por lo que oscila plenamente a través de la curva característica del diodo. Este  diodo  actúa  como un switch ideal, presentando impedancia cero al estar polarizado directamente.

La señal v1(t) a la entrada del diodo viene dada por la suma de la señal moduladora y de la señal portadora según la ecuación, donde se supone que |m(t)|<<  Ac.

v1(t) = Ac cos(2fct) + m(t)

El voltaje v2(t) varia entre los valores v1(t) y cero a una tasa igual a la frecuencia de portadora fc.

Si suponemos que la señal moduladora es débil comparada con la señal portadora, |m(t)|  Ac, hemos reemplazado el comportamiento no lineal del diodo por un funcionamiento lineal variante con el tiempo.

Esto se puede expresar matemáticamente mediante la ecuación, donde gp(t) es un tren de pulsos periódico con medio periodo alto y medio bajo, con periodo T0 = 1/fc, como puede verse en la figura

La señal gp(t) se puede representar en serie de Fourier según la ecuación.

Así lo que se logra es linealizar el comportamiento del diodo.

V2(t)=[ac*cos(2πfct)+ m(t)]*g(t)

donde g(t) es un tren de pulsos periódico con ciclo de trabajo iguala ½ y periodo to=1/fc.  Sustituyendo esta señal g(t) por sus series de Fourier y combinándola con la expresión para v2 hallamos:

La componente:

La  cual es la onda AM deseada con sensibilidad de amplitud ka=4/πac.

Componentes indeseables cuyo espectro contiene funciones delta en cero, ±2fc, ±4fc, etc y ocupan intervalos de frecuencia de ancho 2w centrados en cero, ±3fc, ±5fc, etc siendo w el ancho de banda del mensaje.

Estos términos no deseados son removibles mediante un filtro pasa banda con frecuencia media fc y bw=2w asumiendo que fc>2w.

Esta condición asegura que las componentes indeseables y la onda am queden bien separadas en frecuencia para que el filtro pasa banda las pueda suprimir.

Demodulador de am

El proceso de demodulación es aquel que permite obtener una señal proporcional a la señal moduladora original m(t) a partir de la señal modulada s(t). De hecho, el proceso de demodulación es el proceso inverso del de modulación. Se va a describir un dispositivos para demodular am: el detector de envolvente.

Detector de envolvente

Alguna  versión de este dispositivo es usada en casi todos los receptores comerciales de radio am.

Para que funcione apropiadamente, la onda am debe ser de banda estrecha para lo cual fc debe ser mucho mayor que el bw del mensaje. Sin embargo, el porcentaje de modulación se debe mantener menor al100%.


En el ciclo positivo de la señal de entrada el diodo se polariza directamente y el capacitor se carga rápidamente al valor pico de la señal de entrada.

En el caso contrario el condensador se descarga hasta el siguiente ciclo positivo. La constante de tiempo de carga relaciona la resistencia en el diodo y la de la fuente de voltaje aplicada (rd+rs)c y debe ser pequeña al compararse con el periodo de la portadora:

(rd+rs)c<<1/fc

De otro lado la constante de descarga RLC debe ser suficientemente grande para asegurar que el capacitor se descargue lentamente atreves de la resistencia de carga Rl pero que no sea tan lento que c no se descargue a la máxima

Tasa de cambio de la onda modulante.

1/fc<<rlc<<1/w

El resultado que se obtiene es que el voltaje del capacitor o detector de salida es cercano a la envolvente de la onda AM.

Virtudes y limitaciones de la modulación de amplitud

•Su mayor virtud es su facilidad de generarse y de revertirse.
•Otra de sus ventajas es su implementación de bajo costo.

Pero se debe tener en cuenta que la potencia transmitida y el ancho de banda del canal son nuestros recursos primarios y deben ser usados eficientemente. Con esto en mente se aprecia que la forma estándar de am sufre de Las siguientes limitaciones:

•Desperdicio de potencia: la onda portadora c(t) es completamente independiente de la señal banda base. La transmisión de la onda portadora representa un desperdicio de potencia.
•Desperdicio de ancho de banda: las bandas laterales de una onda am están relacionadas entre sí por su simetría con respecto a la frecuencia de portadora. Así con conocer el espectro de fase y magnitud de una podríamos determinar la otra. Esto indica que con una sola banda lateral es suficiente y solo se necesita asegurar un ancho de banda de canal igual al de la señal mensaje y no 2w como se hace efectivamente. Lo que indica un desperdicio de ancho de banda.
•Para superar estos problemas se deben realizar cambios que implican un mayor complejidad del sistema para poder mejorar y hacer más eficiente la utilización de los recursos.

Translación en frecuencia

El teorema de traslación en frecuencia, establece que la multiplicación de una señal f(t) por una señal sinusoidal de frecuencia wc, traslada su espectro de frecuencia en ± wc radianes.

Consideremos el esquema de la figura

Sea F [f(t)]=F(w), la transformada de Fourier de la función f(t). Si aplicamos la transformada de Fourier a la entrada portadora considerando una función seno o coseno, se tienen los siguientes resultados:


De acuerdo con el teorema de convolución en la frecuencia, se tiene el siguiente resultado para ecuación 1 :

Resolviendo se tiene:

En forma análoga, tenemos para la ecuación 2:

Gráficamente, se puede tener el análisis espectral:

Modulación en Amplitud de Doble Banda Lateral con Portadora Suprimida (DSB-SC)

Esta técnica de modulación analógica, tiene como característica que la amplitud de la portadora Ac no modulada  y denotada por la ecuación:

Ac cos (wct + qc)

se varía en proporción a la señal de banda base o señal moduladora. En estas condiciones, se mantienen constantes wc y qc. El espectro de frecuencia de la señal modulante se desplaza hasta el valor de wc.

Espectro de frecuencias de señal modulante, portadora y señal AM con portadora suprimida.

Podemos obtener las siguientes observaciones:

La señal f(t) se denomina MODULANTE y es la que contiene la información que se desea transmitir.

La señal Cos(wct) es la PORTADORA, la cual determina la frecuencia a la cual va a ser trasladado el espectro de frecuencia.

El espectro de f(t).cos(wct) no contiene portadora.

El espectro de la moduladora es simétrico respecto al eje “y”, es decir, la información al lado derecho es igual al del lado izquierdo.

El espectro de f(t).cos(wc t) contiene dos bandas laterales para ±wc. La banda a la derecha de +wc se denomina banda lateral superior (B.L.S.) y la de la izquierda banda lateral inferior (B.L.I.). Para la frecuencia -wc  el tratamiento es análogo, es decir, la banda a la derecha de -wc se denomina banda lateral inferior (B.L.I.) y la de la izquierda banda lateral superior (B.L.S.).

Se debe tener en cuenta que el ancho de banda de la señal modulada es el doble del ancho de banda de la señal moduladora.

Este tipo de modulación se denomina Modulación de Doble Banda Lateral con Portadora Suprimida (del inglés, DSB-SC => Double-Sidebandm Suppressed Carrier).

 

Exposición-Grupo 2

Filtros

Dispositivo selectivo en frecuencia que se usa para limitar el espectro de una señal a una banda de frecuencias especificas, modificando la amplitud y la fase de la señal.

Función de transferencia

Con independencia de la realización concreta del filtro (analógico, digital o mecánico) la forma de comportarse de un filtro se describe por su función de transferencia. Ésta determina la forma en que la señal aplicada cambia en amplitud y en fase al atravesar el filtro. La función de transferencia elegida tipifica el filtro. Algunos filtros habituales son:

  • Filtro de Butterworth, con una banda de paso suave y un corte agudo.
  • Filtro de Chebyshev, con un corte agudo pero con una banda de paso con ondulaciones
  • Filtros elípticos o filtro de Cauer, que consiguen una zona de transición más abrupta que los anteriores a costa de oscilaciones en todas sus bandas
  • Filtro de Bessel, que, en el caso de ser analógico, aseguran una variación de fase constante.

Archivo:Filtros electr.PNG

Se puede llegar a expresar matemáticamente la función de transferencia en forma de fracción mediante las transformaciones en frecuencia adecuadas. Se dice que los valores que hacen nulo el numerador son los ceros y los que hacen nulo el denominador son polos.

H(f)=\frac{numerador(f)}{denominador(f)}

El número de polos y ceros indica el orden del filtro y su valor determina las características del filtro, como su respuesta en frecuencia y su estabilidad.

Orden

El orden de un filtro describe el grado de aceptación o rechazo de frecuencias por arriba o por debajo, de la respectiva frecuencia de corte. Un filtro de primer orden, cuya frecuencia de corte sea igual a (F), presentará una atenuación de 6 dB en la primera octava (2F), 12 dB en la segunda octava (4F), 18 dB en la tercera octava (8F) y así sucesivamente. Uno de segundo orden tendría el doble de pendiente (representado en escala logarítmica). Esto se relaciona con los polos y ceros: los polos hacen que la pendiente baje con 20 dB por década y los ceros que suba también con 20 dB por década, de esta forma los polos y ceros pueden compensar su efecto.

Filt elect pend.PNG

Para realizar filtros analógicos de órdenes más altos se suele realizar una conexión en serie de filtros de 1º o 2º orden debido a que a mayor orden el filtro se hace más complejo. Sin embargo, en el caso de filtros digitales es habitual obtener órdenes superiores a 100.

Tipos de Filtros

Atendiendo a sus componentes constitutivos, naturaleza de las señales que tratan, respuesta en frecuencia y método de diseño, los filtros se clasifican en los distintos grupos que a continuación se indica.

Según la respuesta en frecuencia

  • Filtro paso bajo: Es aquel que permite el paso de frecuencias bajas, desde frecuencia 0 o continua hasta una determinada. Presentan ceros a alta frecuencia y polos a bajas frecuencia.
  • Filtro paso alto: Es el que permite el paso de frecuencias desde una frecuencia de corte determinada hacia arriba, sin que exista un límite superior especificado. Presentan ceros a bajas frecuencias y polos a altas frecuencias.
  • Filtro paso banda: Son aquellos que permiten el paso de componentes frecuenciales contenidos en un determinado rango de frecuencias, comprendido entre una frecuencia de corte superior y otra inferior.
  • Filtro elimina banda: También llamado filtro rechaza banda, atenua banda o filtro Notch, es el que dificulta el paso de componentes frecuenciales contenidos en un determinado rango de frecuencias, comprendido entre una frecuencia de corte superior y otra inferior.
  • Filtro multibanda: Es que presenta varios rangos de frecuencias en los cuales hay un comportamiento diferente.
  • Filtro variable: Es aquel que puede cambiar sus márgenes de frecuencia.

Filtros Activos y Pasivos

Filtros Analógicos y Digitales

Atendiendo a cómo se construye el filtro, bien con componentes electrónicos analógicos, bien con electrónica y lógica digitales, los filtros pueden clasificarse en:

  • Filtro analógico: es el filtro clásico. Diseñado con componentes analógicos tales como resistencias, condensadores y amplificadores operacionales.
  • Filtro digital: un chip o microprocesador se encarga del cálculo de la señal de salida en función de unos parámetros programados en el interior de la electrónica. Electrónicas típicas para el cálculo de filtros digitales son las FPGAs, DSPs, microprocesadores ymicrocontroladores (incluidos los ordenadores y PACs).

Hoy en día la mayoría de filtros son digitales debido a los beneficios de los sistemas digitales frente a los analógicos: repetitibilidad, estabilidad, redefinibles por software en vez de hardware, tamaño, etc

Transformada de Hilbert

La transformada de Hilbert \mathcal{H}, de una función real, s(t)\,, se obtiene mediante la convolución de las señales s(t) y 1 / (πt) obteniendo \widehat s(t). Por lo tanto, la transformada de Hilbert \widehat s(t) se puede interpretar como la salida de un sistema LTI con entrada s(t) y respuesta al impulso 1 / (πt).

Es una herramienta matemática útil para describir la envolvente compleja de una señal modulada por una portadora real. Su definición es:

\widehat s(t) = \mathcal{H}\{s\}(t) = (h*s)(t) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{s(\tau)}{t-\tau}\, d\tau.\,

donde \scriptstyle h(t) = 1/\pi t y considerando la integral como el valor principal (lo que evita la singularidad \tau = t\,).

La transformada de Hilbert posee una respuesta en frecuencia dada por la transformada de Fourier:

H(\omega ) = \mathcal{F}\{h\}(\omega)\, = \begin{cases}+j\,  & \mbox{si } \omega < 0\,  \\-j\,  & \mbox{si }  \omega > 0\,\end{cases}

o, de manera equivalente:

H(\omega ) = \mathcal{F}\{h\}(\omega)\, = -j\cdot \sgn(\omega)

j\, (o también i\,) es la unidad imaginaria

Y como:

\mathcal{F}\{\widehat s\}(\omega) = H(\omega )\cdot \mathcal{F}\{s\}(\omega),

la transformada de Hilbert produce el efecto de desplazar la componente de frecuencias negativas de s(t)\, +90° y las parte de frecuencias positivas −90°.

También tenemos que H^2(\omega ) = -1\,, por lo que multiplicando la ecuación anterior por -H(\omega )\,, obtenemos:

\mathcal{F}\{s\}(\omega) = -H(\omega )\cdot \mathcal{F}\{\widehat s\}(\omega)

de donde obtenemos la transformada inversa de Hilbert:

s(t) = -(h * \widehat s)(t) = -\mathcal{H}\{\widehat s\}(t).\,
Ejemplos:
Señal
s(t)\,
Transformada de Hilbert
\mathcal{H}\{s\}(t)
\sin(t)\, -\cos(t)\,
\cos(t)\, \sin(t)\,
1 \over t^2 + 1 t \over t^2 + 1
\sin(t) \over t
Función sinc
1 - \cos(t) \over t
\sqcap(t)
función rectángulo
{1 \over \pi} \ln \left | {t+{1 \over 2} \over t-{1 \over 2}} \right |
δ(t)
Función delta de Dirac
 {1 \over \pi t}


Pre-envolvente y Representación Canonica de Señales Pasabanda

Si g(t) es real, se puede definir la  pre-envolvente de la señal como la función compleja g+(t):

g+(t)=g(t)+jg´(t)

———-{2G(f),    f>0

G+(f)= {G(0),     f=0

———-{0,           f<0

 

g_(t)=g(t)-jg´(t)=g*+(t)

Note que el contenido frecuencial de la pre-envolvente para frecuencias positivas, g+(t) es nulo para f<0.

El contenido frecuencial de una señal pasabanda no es despreciable en la banda de paso, centrada alrededor de la frecuencia de la portadora +-fc y de extension 2W.

la pre-envolvente de una señal pasabanda puede expresarse en función de su envolvente compleja como el siguiente producto:

g+(t)=g'(t)exp(j2∏fc*t)

g'(t)=gi(t)+jgq(t)

g(t)=Re[g+(t)]=Re[g'(t)exp(j2∏fc*t)]

g(t)=gi(t)cos(2∏fc*t)-gq(t)sin(2∏fc*t)

Enlaces de Referencia:

http://www.monografias.com/trabajos28/filtros/filtros.shtml

http://es.wikipedia.org/wiki/Filtro_electr%C3%B3nico

http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Hilbert

Exposición-Grupo 1

Representación de Señales y Sistemas.

Serie de Fourier

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos(o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras).

Transformada de Fourier

Es una aplicación que hace corresponder a una función f con valores complejos y definida en la recta, otra función g definida de la manera siguiente:

g(\xi ) = \frac{1}\sqrt{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{-i\xi\,x} dx

Donde f es L1, o sea f tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal. En la práctica las variables x y ξ suelen estar asociadas a dimensiones (como el espacio -metros-, frecuencia -segundos^-1-,…) y entonces es correcto utilizar la fórmula alternativa:

g(\xi ) = \sqrt{\frac{\beta}{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{-i\beta\xi\,x} dx

de forma que la constante beta cancela la dimensiones asociadas a las variables obteniendo un exponente adimensional.

La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios defunciones generalizadas.

Además, tiene una multitud de aplicaciones en muchas áreas de la ciencia e ingeniería: la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales (electrónica), lateoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse como la decomposición de una señal en componentes defrecuencias diferentes, es decir, g corresponde al espectro de frecuencias de la señal f.

Integral de Fourier

La transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias de una función. Un buen ejemplo de eso es lo que hace el oído humano, ya que recibe una onda auditiva y la transforma en una descomposición en distintas frecuencias (que es lo que finalmente se escucha). El oído humano va percibiendo distintas frecuencias a medida que pasa el tiempo, sin embargo, la transformada de Fourier contiene todas las frecuencias contenidas en todos los tiempos en que existió la señal; es decir, en la transformada de Fourier se obtiene un sólo espectro de frecuencias para toda la función.

La serie de Fourier se utilizó para representar una función f definida en un intervalo finito (-p,p)(0,L). Cuando ff' son continuas en dicho intervalo finito, una serie de Fourier representa la función en el intervalo y converge hacia la extensión periódica de f fuera del intervalo. De esta manera, estamos justificados de afirmar que las series de Fourier solamente se asocian con funciones periódicas. Ahora procedemos a deducir, una forma para representar ciertos tipos de funciones no periódicas que estén definidas en un intervalo finito (\infty,-\infty)o semi-infinito (0,\infty)

La transformada de Fourier consta, de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas.

Además, tiene aplicaciones en muchas áreas de la ciencia e ingeniería: la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales (electrónica), la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse como la decomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes, es decir, g corresponde al espectro de frecuencias de la señal f.

La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones es denominada análisis armónico.

De la serie de Fourier a la Integral de Fourier

Serie de Fourier:

f(x)= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty{}[a_ncos(\frac{\pi}{p}x)+b_nsen(\frac{n\pi}{p}x)]

Suponemos que una función f está definida en (-p,p), y utilizamos las definiciones integrales de los coeficientes en la expresión, entonces la serie de Fourier de f en el intervalo es:

f(x)=\frac{1}{2p}\int^{p}_{-p}f(t)dt + \frac{1}{p}\sum_{n=1}^\infty{}\left[\left[\int^{p}_{-p}f(t)cos(\frac{n\pi}{p}t)dt\right]cos(\frac{n\pi}{p}x)+\left[\int^{p}_{-p}f(t)sen(\frac{n\pi}{p}t)dt\right]sen(\frac{n\pi}{p}x)\right]Si establecemos \alpha_n=n {\pi}/p\Delta\alpha=\alpha_(n-1) -\alpha_n= {\pi}/p, entonces se convierte en:

f(x)=\frac{1}{2{\pi}}(\int^{p}_{-p}f(t)dt)\Delta\alpha + \frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^\infty{}\left[\left[\int^{p}_{-p}f(t)cos{\alpha_nt)}dt\right]cos(\alpha_nx)+\left[\int^{p}_{-p}f(t)sen(\alpha_nt)dt\right]sen(\alpha_nx)\right]\Delta\alpha

Ahora vamos a expandir el intervalo (-p,p) haciendo que p\rightarrow{}\infty{}. Como p\rightarrow{}\infty{} implica que \Delta\alpha\rightarrow{}\infty{}. Por tanto, si la integral definida de menos infinito a más infinito existe, el límite del primer término es cero y el límite de la suma se convierte en:

f(t)=\frac{1}{\pi}\int^{\infty{}}_{0}\left[(\int^{\infty}_{-\infty}f(t)cos(\alpha t)dt) cos(\alpha x) + (\int^{\infty}_{-\infty}f(t)sen(\alpha t)dt) sen(\alpha x)\right]d\alpha

Como señala el siguiente resumen, la estructura básica de la integral de Fourier está dada por

f(x)= \frac{1}{\pi}\int^{\infty}_{0}(A(\alpha )cos(\alpha x) + B(\alpha )sen(\alpha x))d\alpha

donde

A(\alpha )=\int^{\infty}_{-\infty}f(x)cos(\alpha x)dx
B(\alpha )=\int^{\infty}_{-\infty}f(x)sen(\alpha x)dx


Convergencia de la integral de Fourier

Sean ff' continuas en cada intervalo finito, y sea f absolutamente integrable en (\infty,-\infty). Entonces la integral de Fourier de f en el intervalo converge hacia f en un punto de continuidad. En un punto de discontinuidad, la integral de Fourier convergerá hacia el promedio

\frac{f(x+)+f(x-)}{2}

donde f(x+)+f(x-) expresan el límite de f en x desde la derecha y desde la izquierda, respectivamente.

Función Par

Se dice que una función f es par cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que f(-x)=f(x).

Modifica los valores de x en la escena y observa lo que sucede con los valores de f(x) y de f(-x).

Al modificar los valores de x en la gráfica, la escena muestra también los valores de -x, de f(x) y de f(-x). Como has podido notar, la gráfica es simétrica con respecto al eje y, puesto que para todo valor x del dominio de la función se verifica que f(x)=f(-x)

Función Impar

Se dice que una función f es impar cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que f(-x)=-f(x). Modifica los valores de x en la escena y observa qué sucede con los valores de f(x) y de f(-x).

Al ir modificando los valores de x la gráfica muestra también los valores de -x, de f(x) y de f(-x). Observa que para cualquier valor del dominio, f(x)=-f(x). Habrás notado además que el segmento que une los puntos P1 y P siempre pasa siempre por el origen, punto del cual equidistan.

Todas estas funciones simétricas con respecto al origen de coordenadas, en las que se verifica que f(x)=-f(x), se denominan funciones impares.

Propiedades de la Transformada de Fourier

\begin{align}   & \mathbb{F}[f(t)]=F(\omega )=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{f(t)\cdot e^{-j\omega t}\partial t} \\   & \mathbb{F}^{-1}[F(\omega )]=f(t)=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{-\infty }^{\infty }{F(\omega )\cdot e^{+j\omega t}\partial \omega } \\  \end{align}


Linearidad \mathbb{F}\left[ \alpha f(t)+\beta g(t) \right]=\alpha F(\omega )+\beta G(\omega )
Dualidad \mathbb{F}[f(t)]=F(\omega )\to \mathbb{F}[F(t)]=2\pi f(-\omega )
Cambio de escala \mathbb{F}[f(at)]=\frac{1}{\left| a \right|}F\left( \frac{\omega }{a} \right)
Transformada de la conjugada \mathbb{F}[f^{*}(t)]=F^{*}(-\omega )
Translacion en el tiempo \mathbb{F}[f(t-t_{0})]=e^{-j\omega t_{0}}F(\omega )
Translacion en frecuencia \mathbb{F}[e^{+j\omega _{0}t}f(t)]=F(\omega -\omega _{0})
Derivacion en el tiempo \mathbb{F}\left[ \frac{\partial ^{n}f(t)}{\partial t^{n}} \right]=\left( j\omega  \right)^{n}F(\omega )
Derivacion en la frecuencia \mathbb{F}\left[ \left( -jt \right)^{n}f(t) \right]=\frac{\partial ^{n}F(\omega )}{\partial \omega ^{n}}
Transformada de la integral \mathbb{F}\left[ \int\limits_{-\infty }^{t}{f(\tau )\partial \tau } \right]=\frac{F(\omega )}{j\omega }+\pi F(0)\delta (\omega )
Transformada de la Convolucion \begin{align}   & \mathbb{F}\left[ f(t)*g(t) \right]= \\   & \mathbb{F}\left[ \int\limits_{-\infty }^{\infty }{f(\tau )g(t-\tau )\partial \tau } \right]=F(\omega )G(\omega ) \\  \end{align}
Teorema de Parseval \int\limits_{-\infty }^{\infty }{\left| f(t) \right|^{2}\partial t=\frac{1}{2\pi }}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\left| F(\omega ) \right|^{2}\partial \omega }


Teorema de Rayleigh

También conocido como teorema de plancherel. Para poder aplicarlo necesitamos conocer el espectro de la amplitud de la señal.

Por lo general se refiere al resultado que la transformada de Fourier es unitaria ; vagamente, que la suma (o integral) del cuadrado de una función es igual a la suma (o integral) del cuadrado de su transformada . Tiene su origen en un teorema de 1799 sobre la serie de Marc-Antoine Parseval , que se aplicó más tarde a la serie de Fourier . También es conocido como teorema de la energía de Rayleigh, o de identidad de Rayleigh, después de John William Strutt , Lord Rayleigh.

Aunque el teorema de “la” Parseval plazo es a menudo usado para describir la unitariedad de cualquier transformación de Fourier, especialmente en la física y la ingeniería , la forma general la mayor parte de esta propiedad es más propiamente llamado el teorema de Plancherel.

Supongamos que A (x) y B (x) son dos funciones complejas integrables de Riemmann con valores, en I de período 2π.

A (x) = \ sum_ {n =- \ infty} ^ a_ne ^ \ infty {} inx

y

B (x) = \ sum_ {n =- \ infty} b_ne ^ \ infty} ^ {inx

respectivamente. A continuación,

\ Sum_ {n =- \ infty} ^ \ infty a_n \ overline {b_n} = \ frac {1} {2 \ pi} \ int_ {- \ pi} A ^ \ pi (x) \ overline {B (x) dx},

donde i es la unidad imaginaria y las barras horizontales indican conjugación compleja .

Parseval, que al parecer se había limitado a funciones con valores reales, en realidad presenta el teorema sin pruebas, teniendo en cuenta que sea evidente. Hay varios casos importantes del teorema. En primer lugar, si B = A obtiene inmediatamente un:

\ Sum_ {n =- \ infty} ^ \ infty | a_n | ^ 2 = \ frac {1} {2 \ pi} \ int_ {- \ pi} ^ \ pi | A (x) | ^ 2 dx,

de la cual la unitariedad de la serie de Fourier siguiente.

En segundo lugar, a menudo se considera sólo la serie de Fourier para funciones reales A y B, que corresponde al caso especial: verdadero, a_ {-n} = \ overline {a_n} , B 0 real, y b_ {-n} = \ overline {} b_n . En este caso:

a_0 b_0 + 2 \ Re \ sum_ {n = 1} a_n ^ \ infty \ overline {b_n} = \ frac {1} {2 \ pi} \ int_ {- \ pi} A ^ \ pi (x) B (x ) dx,

donde \ Re denota la parte real .

Dualidad entre los dominios de Tiempo y Frecuencia

Impulso Delta

La delta de Dirac (inapropiadamente llamada función delta de Dirac) es una distribución (función generalizada) introducida por primera vez por el físico inglés Paul Dirac, en tanto que distribución define un funcional en forma de integral sobre un cierto espacio de funciones. Se escribe como:

\delta_{a}(x) \equiv \delta(x-a)

Siendo \delta(x)\, para el caso a = 0\,

En física la delta de Dirac puede representar la distribución de densidad de una masa unidad concentrada en un punto a. Esta función constituye una aproximación muy útil para funciones picudas y constituye el mismo tipo de abstracción matemática que una carga o masa puntual. En ocasiones se denomina también función de impulso. Además la delta de Dirac permite definir la derivada generalizada de funciones discontinuas, concretamente, se tiene la siguiente relación con la función escalón.

\delta_a(x) = \theta_a'(x)\,

Intuitivamente se puede imaginar la función δ(x) como una función que tiene un valor infinito en x = 0, tiene un valor nulo en cualquier otro punto, de tal manera que su integral es uno.

Definiciones

La Delta de Dirac es una “función generalizada” que viene definida por la siguiente fórmula integral:

\int_{-\infty}^\infty \delta(x-a) f(x) \, dx = f(a) \qquad \left[e.g. \int_{-\infty}^\infty \delta(x) \, dx = 1 \right ]

La Delta de Dirac no es una función estrictamente hablando puesto que se puede ver que requeriría tomar valores infinitos, a veces informalmente se define la delta de Dirac como el límite de una sucesión de funciones, que tienda a cero en todo punto del espacio excepto en un punto para el cual divergería hacia infinito de ahí la “definición convencional” dada por la convencional fórmula aplicada a las funciones definidas a trozos:

\delta(x) = \begin{cases} \infty, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 \end{cases} ;

Comúnmente en física la Delta de Dirac se usa como una distribución de probabilidad idealizada, técnicamente de hecho es unadistribución (en el sentido de Schwartz).

En términos del análisis dimensional, esta definición de δ(x) implica que δ(x) posee dimensiones recíprocas a dx.

Definición como distribución de densidad

\int_a^b f(x) \delta (x-x_0) \,d x = \left\{\begin{matrix}  f(x_0) & \mbox{si } a < x_0 < b  \\  0 & \mbox{si } x_0 < a \ \mbox{o} \ x_0 > b \end{matrix}\right.

Definición como límite de sucesiones de funciones

La delta de Dirac se define como “límite distribucional” de una sucesión de funciones que convergen puntualmente a la función cero en todos los puntos de su dominio excepto uno. Se dice que una sucesión de funciones fn(x) converge distribucionalmente cuando:

\left[ \lim_{n \to \infty} \int_{-\infty}^{\infty} f_n(x) \phi(x) dx \right] \to  d(\phi)

Donde φ es una función perteneciente a un espacio vectorial de funciones, y d es un funcional continuo del espacio vectorial dual (el conjunto de esos elementos continuos es un subespacio vectorial del dual, conocido como espacio dual topológico del espacio original de funciones. La Delta de Dirac centrada se puede definir como el límite distribucional del funcional dado por d(φ) = φ(0), es decir, el límite en el sentido de las distribuciones de una sucesión de funciones tales que:

\left[ \lim_{n \to \infty} \int_{-\infty}^{\infty} f_n(x) \phi(x) dx \right] \to  \phi(0)

Algunos ejemplos posibles de sucesión de funciones que cumpla lo anterior son:

\begin{matrix}   f_n(x)=\begin{cases}     n \quad \|x\|<\frac{1}{2n}\\     0 \quad \|x\|\ge\frac{1}{2n}  \end{cases} & f_n(x)=\cfrac{n}{\sqrt{\pi}}e^{-n^2x^2} \\   f_n(x)=\cfrac{1}{\pi}\cfrac{n}{n^2x^2+1} & f_n(x)=\cfrac{\sin nx}{\pi x}  \end{matrix}

Propiedades

Estas propiedades se pueden demostrar multiplicando ambos miembros de cada igualdad por una función f(x) e integrando teniendo en cuenta que la función Delta no puede formar parte del resultado a menos que esté dentro de una integral.

  • \delta(x)=\delta(-x)\,\!
  • f(x)\delta'(x)=-f'(x)\delta(x)\,\!
  • \delta'(x)=-\delta'(-x)\,\!
  • x^n\delta(x)=0 \qquad \forall n>0, x\in\mathbb{R}\,\!
  • (x-a)^n\delta(x-a)=0 \qquad \forall n>0\,\!
  • \delta(ax-b)=|a|^{-1}\delta(x-(b/a)) \qquad \forall a>0\,\!
  • h(x)\delta(x-a)=h(a)\delta(x-a)\,\!
  • h(x)\delta'(x-a) = h(a)\delta'(x-a)-h'(a)\delta(x-a)\,
  • \delta(f(x)) = \sum_n |f'(x_n)|^{-1}\delta(x-x_n), \quad \mbox{con}\ f(x_n)=0,\ f'(x_n)\ne 0
  • \delta(\omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i\omega t}dt

En coordenadas esféricas se tiene:

\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0) =  \begin{cases} \frac{1}{r^2\sin\theta}\delta(r-r_0) \delta(\theta-\theta_0)\delta(\phi-\phi_0) & x_0,y_0,z_0 \ne 0 \\ \frac{1}{2\pi r^2\sin\theta}\delta(r-r_0) \delta(\theta-\theta_0) & x_0=y_0=0,\ z_0 \ne 0 \\  \frac{1}{4\pi r^2}\delta(r-r_0) & x_0=y_0=z_0 = 0   \end{cases}

 

Enlaces de Referencia:

http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier

http://www.mitecnologico.com/Main/FuncionParEImpar

http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier#Propiedades_b.C3.A1sicas

http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Parseval’s_theorem

http://translate.google.com.co/translate?hl=es&langpair=en|es&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Parseval’s_theorem

http://es.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Dirac


¿Que es el LNA?

Amplificador de bajo ruido (LNA) es un amplificador electrónico utilizado para amplificar señales débiles (por ejemplo, capturado por una antena ). Por lo general se encuentra muy cerca del dispositivo de detección para reducir las pérdidas en la línea de alimentación. Esta antena activa es de uso frecuente en los sistemas microondas como el GPS , ya que el cable coaxial de línea de transmisión tiene mas pérdidas en frecuencias de microondas, por ejemplo, una pérdida del 10% procedentes de unos pocos metros de cable podría causar una degradación del 10% de la señal-ruido- (SNR).

El uso de un LNA, el efecto del ruido de las etapas posteriores de la cadena que recibe se reduce por el aumento de la LNA, mientras el ruido de la propia LNA se inyecta directamente en la señal recibida. Por lo tanto, es necesario que la LNA para aumentar la potencia de la señal deseada al tiempo añada el menor ruido y la distorsión posible, de manera que la recuperación de esta señal es posible en las etapas posteriores en el sistema. Una buena LNA tiene un NF baja (como de 1 dB), una ganancia lo suficientemente grande (como 20 dB) y debe tener sobremodulación lo suficientemente grande y el punto de compresión (IP3 y P1dB). Otros criterios son el ancho de banda de funcionamiento, de la llanura de ganancia, la estabilidad y la VSWR de entrada y de salida.

Para ruido, el amplificador debe tener una amplificación alta en su primera etapa. Por lo tanto JFET y HEMT son de uso frecuente, y amplificadores de distribución pueden ser utilizados. Son conducidos en un régimen de corrientes altas, que no es eficiente, pero reduce la cantidad relativa de ruido de disparo . De entrada y salida se pongan en venta los circuitos para los circuitos de banda estrecha mejorar la ganancia (ver ancho de banda de ganancia del producto ) y no utilizar resistencias, ya que aumentaría el ruido. Polarización es realizada por grandes resistencias, ya que la eficiencia energética no es necesaria, y una gran resistencia evita las fugas de la salida de la señal débil de la ruta de señal o ruido en la señal.


Enlaces de Referencia

http://translate.google.com.co/translate?hl=es&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Low-noise_amplifier&ei=eZc_TarpHcOBlAf4qP2WAw&sa=X&oi=translate&ct=result&resnum=1&ved=0CCwQ7gEwAA&prev=/search%3Fq%3DLNA%26hl%3Des%26prmd%3Divns

https://docs.google.com/viewer?url=http://www.ele.uva.es/~sduenas/ELECTAV4/CAP8LNA.ppt